例談銜接教學中圖形化思想的教學設計

江蘇省泰興市第一高級中學(225400)

張永豐 ●

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例談銜接教學中圖形化思想的教學設計

江蘇省泰興市第一高級中學(225400)

張永豐 ●

與一元二次相關的不等式、方程以及二次函數，是初高中銜接中非常重要的基本知識，是后續學習不等式的基礎、學習三次以上函數的根本．如何將圖形化思想滲透到三者相關的教學中，并加以合理整合引導學生認知呢？筆者做了這樣的教學設計，與讀者交流：

1.情境問題 建立模型

《爸爸去哪兒》欄目組為了培養五位萌娃的環保意識，決定給爸爸和寶貝們新派一個任務：在長為8米寬為6米的長方形地面上進行綠化，要求四周種滿花卉且花卉帶的寬度相同，中間種植草坪(如圖所示)．為了美觀起見，現草坪的種植面積需超過總面積的一半，試問花卉帶的寬度應滿足什么條件？請同學們幫他們想想辦法……

分析 設花卉帶的寬為x，則依題意有：(8-2x) (6-2x) > 0.5×8×6，化簡得：x2-7x+6>0．

設計意圖：從實際情境中抽象出一元二次不等式模型(綠化問題)，引入新課．(1)給出一元二次不等式的定義.定義：諸如x2-7x+6>0的僅含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2次的不等式，稱為一元二次不等式．(2)探究一元二次不等式x2-7x+6>0的解集：怎樣求不等式x2-7x+6>0的解集呢？

2.類比教學 探究解法

初中數學學習中，學生已經領會了一元一次方程和不等式的解法，相關的一次函數的知識也積極領悟了，那么這三者是什么關系？學生卻很難講清楚，這說明學生學習的知識都是孤立的、割裂的．師生活動：教師給出函數圖象，并利用幾何畫板的動態功能演示點P的橫坐標的變化，請學生觀察其縱坐標反映的是什么量？方程、不等式、函數三者之間的關系如何表述？并得出以下結論：

(1)x軸是一條分界線，一次函數y=2x-7與x軸的交點是分界點．(2)y>0的解即為y=2x-7在x軸上方的圖象對應的x的范圍；y=0的解即為y=2x-7與x軸交點的橫坐標；y<0的解即為y=2x-7在x軸下方的圖象對應的x的范圍．(3)寫出2x-7>0(=0,<0)的解．

學生通過研究發現，原來一次方程和一次不等式可以說是一次函數的特殊情況，這三者之間有著極強的聯系，這樣利用函數圖象關系我們可以快速地解決方程的根和不等式的解集.請學生思考，如何將這種圖形化問題解決的思想用于一元二次不等式x2-7x+6>0的求解呢？將其與二次函數聯系起來討論，從而找到其求解方法呢．

探究：一元二次不等式不是我們熟悉的東西，但是大家看f(x)=x2-7x+6和x2-7x+6=0這是什么？研究函數圖象成為研究二次方程的一般普適情況，這三者間的關系如一次問題的解決．

容易知道：(1)二次方程的有兩個實數根：x1=1，x2=6,二次函數有兩個零點：x1=1,x2=6．于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數的零點．

(2)觀察圖2，獲得解集：畫出二次函數y=x2-7x+6的圖象，如圖，觀察函數圖象，可知：當x<1，或x>6時，函數圖象位于x軸上方，此時，y>0，即x2-7x+6>0；當x=1，或x=6時，函數圖象與x軸相交，此時，y=0，即x2-7x+6=0；當10的解集是{x|x<1或x>6}，從而解決了開始時提出的問題．

設計意圖 從一個初中生能解決的特殊不等式入手，通過圖形化思想研究函數圖象關系，學生發現利用圖形化思想研究不等式的解集可以成為一種一般性的解決方法．

3.一般情形 深入探究

教師引導學生設計一元二次函數圖象的不同情形，并從圖形中去思考不等式的解集和函數方程的根的關系，將一般化的情形請學生嘗試、探索、總結．研究ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，即由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集．

通過探究一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集：觀察Δ的值以及拋物線與x軸相關位置，引導學生得出一元二次不等式的解集應分為Δ>0,Δ=0,Δ<0三種情況討論．將知識總結成表格，限于篇幅不贅述．

4.運用成果 解決問題

題組1 解不等式x2-2x-15≥0．

分析 方程x2-2x-15=0有兩個解是x1=-3,x2=5，所以不等式的解集為{x|x≤-3或x≥5}．

總結： 解一元二次不等式的步驟是：(1)化成標準形式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0(a>0) (一看)；(2)判定Δ的符號(二判)；(3) 求出方程ax2+bx+c=0 的實根;(畫出函數圖象)(三求)；(4)(結合函數圖象)寫出不等式的解集(四寫)．

題組2 解不等式4x2-4x+1>0．

分析 通過計算Δ=0，方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2,所以原不等式的解集是{x|x≠1/2}．

設計意圖 通過不同形式的不等式問題，從頭腦中的基本二次函數圖象出發，讓學生深刻體會解一元二次不等式的關鍵，還是在頭腦中形成相關的二次函數模型．這樣對于三者間關系的掌握和處理，對于數形結合思想的培養都是有益的．

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1008-0333(2016)26-0029-01