全面思考小心漏解

江蘇省南京市金陵中學龍湖分校(210005)

謝麗麗●

?

全面思考小心漏解

江蘇省南京市金陵中學龍湖分校(210005)

謝麗麗●

幾何圖形的說理與證明過程中，往往因為題目中未畫出圖形，而只是對題目進行文字性描述，做題時需要一邊讀題一邊畫出圖形，但是學生往往容易忽略題中的隱含條件導致漏解.現以七年級學生初學幾何圖形時往往會出現考慮不全為例，列舉如下：

例1 一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角的關系是 ____.

錯解 相等.

錯解分析 本題主要考察平行線性質的應用.

角的兩邊是兩條射線，射線是有方向的，因此要考慮到這兩個角的兩邊的方向是否相同.

當這兩個角的兩邊的方向都相同時，這兩個角相等；

當這兩個角的兩邊的方向都相反時，這兩個角相等；

當這兩個角的兩邊一組對應邊方向相同，另一組對應邊方向相反時，這兩個角互補.

正解 相等或互補.

例2 等腰三角形的周長為60，一腰上的中線把它分成兩個小三角形，這兩個小三角形的周長之差是6，試求這個等腰三角形的腰長.

錯解 設這個等腰三角形的腰長是2x，則底邊長為(60-4x)一腰上的中線長是a.則分成的兩個小三角形的周長之差是(2x+x+a)-[a+x+(60-4x)]=6.

解得x=11. 所以腰長是22.

錯解分析 兩個小三角形的周長之差是6，但是并沒有指明誰大誰小，因此有兩種情形.

正解 設這個等腰三角形的腰長是2x，則底邊長為(60-4x)一腰上的中線長是a.由題意可得： (2x+x+a)-[a+x+(60-4x)]=±6.

解得x=11或9. 所以腰長是22或18.

當腰長是22時，底邊長是16；當腰長是18時，底邊長是24.經檢驗，這兩個解都符合要求，所以這個等腰三角形的周長是22或18.

例3 已知,線段AB∥CD，E為AB、CD之間的一點，連接EA、EC，∠A=x°，∠C=y°試用x、y表示∠AEC的度數.(其中x、y都不等于90).

錯解 如圖2，過E作EF∥AB,

∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,

∴∠1=∠A=x°,∠2=∠C=y°,

∴∠AEC=∠1+∠2= +x°+y°.

錯解分析 沒有考慮到點E相對于點A,點C的位置關系，題目中未畫出圖形，也沒有限定x、y是否大于或者小于90，因此，∠A與∠C既可能是銳角，也有可能是鈍角，有多種情形.

正解 過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，

(1)如圖3：

∵AB∥CD∥EF，

∴∠1=∠A=x°,∠2=∠C=y°.

∴∠AEC=∠1+∠2=x°+y°.

(2)如圖4：

同理可得：∠AEC=∠1+∠2=360°-x°-y°.

(3)如圖5：∵AB∥CD∥EF,∴∠1=180°-∠A=180°-x°， ∠2=∠C=y°.∴∠AEC=∠1+∠2=180°-x°+y°.

(4)如圖6：

同理可得：∠AEC=∠1+∠2=180°+x°-y°.

綜上所述，∠AEC的大小有4種可能,在作圖的過程中要考慮完整.

本題中，還可以進一步啟發學生：如果沒有“點E在AB、CD之間”這個條件，情形會不會更多呢？讓學生多么思維更開闊.

總之，在解答或未給出圖形的幾何題目時，讀題畫圖的過程中要充分細致地考慮各種情形. 教師要從一開始就要引導學生認真讀題，理解題意，正確畫出圖形，以防止漏解.滲透分類討論的思想，讓學生初學平面幾何時就養成良好的全面思考的思維方式和學習習慣.

G

B