芻議初中數學“最值”問題的一些體會

江西省上饒市鄱陽縣石門街中學(333100)

李曉華●

?

芻議初中數學“最值”問題的一些體會

江西省上饒市鄱陽縣石門街中學(333100)

李曉華●

解“最值”問題，可將問題分成幾類，然后有針對性地來解決.有以下幾種方法來解決.

一、利用絕對值的概念來解決相關問題

例1 求|x+2|+|x-1|+|x-5|的最小值.

遇到這樣的問題我們可以利用絕對值的定義來解決.

二、利用特殊不等式a2+b2≥2ab來解決

例如：要修建一個容積為8立方米，深為2米的長方體無蓋的水池.如果水池底和水池壁的造價分別為每平方米120元和每平方米80 元，問此水池的最低造價是多少元？

三、利用典型例題來解決幾何中的最值問題

初中數學幾何中，在講到軸對稱知識時，有這樣的一個例題：如圖，直線l的同側有A和B兩點,試在l上找一點P，使得PA+PB的和最小.

分析 通過學習，我們知道只要在l的另一側找到A點的對稱點A′，連接B和A′，與直線l的交點就是我們所找的P點.它是利用軸對稱和三角形三邊的相關知識來證明的.利用這個經典例題，進行適當的轉化,我們可以解決許多類似的題目.

通過上述例題的研究，我們發現課本中的例題還是有比較好的利用價值的.我們在平時要善于思考總結.接著我們再來看此例題的延展.

四、利用某些線段的特殊性求解最小值

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.因此斜邊上的中線是一條比較特殊的線段，利用這一特性，我們可以解決相關問題.

例如，如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，3為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內，過點P作⊙O的切線與x軸相交于點A點，與y軸相交于點B點.當點P在運動時，線段AB的長度在發生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由.

分析 本問題中,要求線段AB的最小值，而A、B點都隨切線的改變而改變，不好直接求其最小值.而在Rt△OAB中，線段AB為斜邊，取AB的中點C，連結OC，這樣就利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=0.5AB，從而求出OC的最小值就可以解決斜邊AB的最小值.又因為⊙O與邊相切，連結O與切點P，所以半徑OP⊥AB. 由圖可以知，Rt△OAB中，斜邊上的中線OC與斜邊上的高OP重合時, 即OC=OP時，OC最短，此時AB也最短，得到 AB最小值為6.

當然，除了上面提到的幾種類型外，還有像在幾何問題中有時可用平面展開圖的方法來解決距離最短問題等等.所以，解“最值”問題的方法多種多樣，變化無窮的.

初中數學中的“最值”問題一直是一個讓學生感到比較困難的課題，通過以上例題的探究，我們能感知到解此類問題還是有一定方法可循的.我們平時應多注意對知識的積累，遇到問題深入思考，養成良好的數學習慣，我們完全有能力學好數學.

G

B