應用轉化的數學思想解題討論

江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學(225109)

朱勝杰●

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應用轉化的數學思想解題討論

江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學(225109)

朱勝杰●

轉化和化歸的思想就是在研究和解決數學問題時采用某種方式，借助某些圖形性質、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，進而達到解決問題的目睥.轉化和化歸思想是初中數學中常見的一種數學思想方法，它的應用十分廣泛，我們在解題時經常運用此思想方法，將復雜問題轉化成簡單問題，將生疏的問題轉化成熟悉的問題.轉化和化歸的思想就是要我們深刻理解并靈活運用新舊知識之間的關系.

轉化；分式方程；增根

本文通過實例研究應用轉化思想解題.

例1 如圖1所示，AB是⊙O的直徑，點P在AB的延長，弦CE交AB于D點，連接OE，AC，BC，已知∠POE=2∠CAB,∠P=∠E.

(1)求證：CE⊥AB；

(2)求證：PC是⊙O的切線；

(3)若BD=2OD，且PB=9，求⊙O的半徑及tan∠P的值.

分析 對于分式方程，我們是將其轉化為整式方程求解，轉化的途徑是去分母，也就是用分式方程中各分式的最簡公分母去乘以方程的兩邊，化為整式方程，但這樣的轉化得到的整式方程可能與原方程不一定同解，有可能產生增根，因此解分式方程時必須對求出的解進行驗根.

方程兩邊都乘以x(x+2)(x-2),得(x-4)(x-2)=x+2-2x.

整理后，得x2-5x+6=0,(x-2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3.

經檢驗，x=3是原方程的根，x=2是增根，應舍去.

檢驗的方法有兩種，一種方法是將所求出的未知數的值代入原方程兩邊進行檢驗，兩邊相等則是原方程的解，兩邊不相等則是增根，另一種方法是把變形后所得的整式方程的根代入所乘的整式，如果代入后這個整式為零，這個根就是原方程的增根，如果代入后這個整式不為零，這個根就是原方程的根.

轉化思想貫穿于數學的始終，三角函數的定義、解直角三角形的前提是在直角三角形中，而通常給出的是斜三角形、四邊形(特別是梯形)，因此解題時，常常通過作高(或垂線)將斜三角形、四邊形轉化為直角三角形的問題，此外，在實際應用時，首先將實際問題轉化為數學模型，再借助于解直角三角形的知識求解.

本題求不規則圖形的面積要轉化為角直角三角形或特殊的四邊形的面積來求.

解法1 如圖2(1)所示，過點B作BE∥AD交CD于點E，過點E作EF∥AB交AD于點F，則BE⊥AB，EF⊥AD ∴四邊形ABEF是矩形 ∴∠CBE=120°,90°30°,∠D=180°-120°=60°.

此題給出了兩種不同的解答方法，一是適當添加輔助線，把不規則四邊形轉化為直角三角形和直角梯形求解；二是通過補形，把不規則四邊形轉化為直角三角形.兩種方法的實質是將四邊形問題轉化為直角三角形問題來求解.

G

B