多角度探究圓的方程

云南省綏江縣第一中學(657700)

余永波●

?

多角度探究圓的方程

云南省綏江縣第一中學(657700)

余永波●

圓的方程是高考的考查重點.由于圓的特點，其性質具有完美性，所以求解圓的問題一般都有多種途徑.本文通過幾道典型例題從多種角度一一探究圓的方程的求解思路.

例1 △ABC的三個頂點分別為A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),則其外接圓的方程為____.

解法1 (標準方程法):設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則

解法2 (一般方程法):設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則把點A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)代入上述方程可得方程組(略),解方程組,解得D=6,E=-2,F=-15,故所求圓的方程為x2+y2+6x-2y-15=0.

點評 求圓的方程常用“待定系數法”,大致步驟是:①根據題意,選擇標準方程或一般方程；②根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；③解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程.若從已知條件中能較容易地求出圓心和半徑,則可設圓的標準方程；若已知條件牽涉到圓過幾個點,常用圓的一般形式．

點評 利用圓的幾何性質求圓的方程時,常用到圓的三個性質: (1)圓心在任意一弦的垂直平分線上；(2)圓心在過切點且垂直切線的直線上；(3)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線.

例2 經過兩點A(2,-3),B(-2,-5)且圓心在直線x-2y-3=0上的圓的方程為____.

解法1 (標準方程法):設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則

點評 解題關鍵合理運用圓上任意一點到圓心的距離是半徑這一幾何性質,建立方程求得參變量.本題的閃光點是運用點在一條直線上時,將點用一個參變量表示,這是一種簡化運算的好方法,應重點掌握并應用于解題之中.

點評 本題解題關鍵是運用圓的任意弦的垂直平分線均過圓心這一幾何性質.

例3 與x軸切于點(5,0)并在y軸上截取弦長為10的圓的方程為____.

點評 涉及與圓的弦長有關問題時,一般根據弦心距、半弦長、半徑之間的勾股定理關系解決問題.

解法2 (弦長公式法):設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

G632

B

1008-0333(2016)31-0024-01