多視角看一道解析幾何題

烏魯木齊市第一中學(xué)(830002)

馬仲勛●

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多視角看一道解析幾何題

烏魯木齊市第一中學(xué)(830002)

馬仲勛●

解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，這類試題往往以解析幾何知識(shí)為載體，綜合函數(shù)，不等式，數(shù)列等知識(shí)，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)解題能力層次要求較高.

現(xiàn)從一道2014北京海淀模擬考試解析幾何題探討四種不同角度解決問(wèn)題.這四種解法中第一種第二種解法通性通法，中規(guī)中矩但是運(yùn)算量大，容易出錯(cuò)；第三第四種解法則整體設(shè)計(jì)巧妙，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算，從而迅速解決問(wèn)題.

題目 已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(-2,0)的直線l與圓x2+y2=1交于P,Q兩點(diǎn).

(2)若△OMP與△OPQ面積相等，求直線l的斜率.

解析 (1)依題意知直線的斜率存在.

因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(-2,0)，所以可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2).

方法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2).因?yàn)镾△OMP=S△OPQ,所以y2=2y1.

由第一問(wèn)的直線l：

將①代入x2+y2=1，

方法三 因?yàn)椤鱋MP與△OPQ的高均為ON.

所以當(dāng)兩三角形之底相等時(shí)，面積相等，即P是MQ中點(diǎn).設(shè)P(x,y)，Q(x1,y1),

因?yàn)镼在圓x2+y2=1①上，

所以將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入圓中得：(2x+2)2+(2y)2=1，

化簡(jiǎn)得：4x2+4y2+8x+3=0 ②.

則Q點(diǎn)既在⊙C上也在圓⊙D上，即Q點(diǎn)為⊙C與⊙D的交點(diǎn).

方法四 由題意得：圓心為(0,0)，r=1.

過(guò)O點(diǎn)作ON⊥PQ于點(diǎn)N，ON為兩三角形的高.

設(shè)ON為d，直線l：y=kx+2k.

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B

1008-0333(2016)31-0010-01