波利亞的解題四步驟在數學解題中的實際運用

江蘇省無錫湖濱中學(214000)

錢 敏●

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波利亞的解題四步驟在數學解題中的實際運用

江蘇省無錫湖濱中學(214000)

錢 敏●

怎樣進一步提高學生的數學解題能力，一直是教師教學過程中不斷反思的問題.波利亞的《怎樣解題》中提到的解題四步驟，正是我們教學過程中應不斷堅持的理念.那么怎樣具體操作波利亞的解題四步驟，來提升學生的解題能力呢？這其中要注意一些什么呢？現以2016年江蘇高考卷的一道向量填空題的解說為例來具體說明一下.

根據解題的四步驟，引導學生進行下列思考.

步驟1 理解題目——關于題意的思考

思考1 看到題目先明確已知是什么，求的是什么.

發現1：已知和所求都是向量的數量積.

能得到發現1的前提是學生知道向量數量積的符號形式.

思考2：數量積有哪些知識點可用？

①

和數量積的坐標運算a·b=x1x2+y1y2

②

能得到發現2的前提是學生知道平面向量數量積的這些公式

步驟2 擬定方案——關于已知量與未知量之間聯系的思考

思考3 ①②兩個公式對于所求是否可用？是否有幫助？

發現3：公式①這里不知道對應向量的長度，它們的夾角也不知道，未知的較多，不適用.公式②坐標運算，如果要用，就要把三角形放入直角坐標系中來進行坐標運算.

能得到發現3的前提是學生知道可用代數坐標運算的方法研究向量.

因此能正確理解該題，找到解題思路的前提是學生已具備了平面向量對應的知識點.

由此我們可以知道數學基本知識點和基本數學思想方法的積累是正確理解題目擬定解題方案的前提.要理解題目，知道題目中的已知量與未知量之間的聯系，首先要看懂題目，知道題目中的知識點以及知識點之間的聯系.如果學生連題目都看不懂，那一切思考都無從下手.

在解這道題的過程中我們繼續往下思考.

思考4：怎樣建立直角坐標系比較好呢？

發現4:D是BC中點，如果以BC為x軸，D為坐標原點O,建立坐標系比較好，這樣B點C點只要設出一個橫坐標即可.又發現AD是斜的，不在y軸上，如果要設點坐標的話，A點的x,y都要設出來，未知數比較多

思考5：能否微調，使設點坐標中的未知數盡量少一點？

發現5：如果AD垂直于BC，這樣A點只要設一個縱坐標了.仔細看題，發現題目并沒有對△ABC有所限制，那作為填空題，用特殊值法，畫成等腰三角形也未嘗不可.由此重新畫出坐標系中的△ABC.

能有以上這些發現的前提是學生有過建立直角坐標系做題的經驗，有希望盡量用比較少的未知數來設未知量的理念.

步驟3 執行方案——注意運算過程中每一步的正確率

我們來看一下這道題的坐標運算中又需要哪些知識點呢？

設D(0,0),B(-m,0),C(m,0),A(0,3n),E(0,2n),F(0,n).

這幾步運算正確的前提是學生數量積的坐標運算，二元一次方程組的解的運算的正確.

因此，在執行方案的過程中，數學基本知識點，數學基本運算公式，同樣是學生正確解題的保障.

步驟4 回顧，反思——對題目的進一步深入思考，幫助學生加深題目的理解和掌握

思考6 除了用坐標運算，還有其他方法嗎？

發現6：向量中常用方法還有一種，利用平面向量基本定理和三角形運算法則，把所求的向量轉化為已知向量之后再來運算.

能得到發現6的前提是學生知道向量是數形結合的有效載體，既可以用從代數的角度用坐標法研究向量，也可以由幾何角度來研究

思考7：已知向量是什么？與所求向量有何關系？

由⑤⑥可計算出中間向量，由此計算出所求

這些發現和運算，同樣需要學生備有平面向量基本定理和三角形法則等對應的知識點.

思考8：這兩種方法的優劣比較.

這一思考可以幫助學生從解這一具體題目，轉化為解這一題型，更進一步轉化為理解出題目的本質.

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1008-0333(2016)31-0043-01