關于立體幾何線面平行問題的解題方法

陜西省西安高新唐南中學 (710065)

蔣金雨●

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關于立體幾何線面平行問題的解題方法

陜西省西安高新唐南中學 (710065)

蔣金雨●

對于立體幾何而言，如何有效地使用解題方法成為了我們主要關注的問題.立體幾何問題是一種抽象化的問題，而且其中線面平行的問題更是高考的熱點問題.對于線面平行，其核心內容便是依據相關的定理和概念，加之對平行關系的應用，進而做好線面平行問題的解析.

一、空間幾何思想解決立體幾何中的線面平行問題

高中數學立體幾何中線面平行問題的解答過程中，要對立體幾何中線和面平行的相關知識進行全面的分析，并且要熟練地應用在分析題目中，進而快速而熟練地解決問題.

對于空間幾何圖形平行的關系而言，不僅有線線平行，線面平行，還有面面平行，而本文主要研究線面平行.主要使用的定理如下所示：

若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.可以表示為：若直線l?α，直線b?α，l∥b，則l∥α.

二、利用平行四邊形思想解決立體幾何中線面平行問題

證明 取AE中點F.

這種類型的題便是利用幾何體的空間結構和性質，巧妙地利用輔助線，進而對立體幾何中的線面平行問題進行解決.

三、利用比例關系解決立體幾何中線面平行的問題

在這道題的求解過程中，首先我們在題目中已經知道比例關系，為了利用比例關系，所以我們構造輔助線利用其中的比例關系來解答這道題.因為比例關系只能應用到一個平面內，所以我們要把已知的比例關系轉化到平面內可以利用的比例關系，于是我們將平面ADE擴大到平面FDE，構造出DN，NC的比例關系，證明如下，

證明 延長DA、CB交于點F，連接CM并延長交EF于點Q，過點B作MQ的平行線BK.

∵M是BE的中點,

∴Q是KE的中點.

在△FQC中，BK是中位線,

可得K是EF的三等分點,

∵DQ?平面ADE，MN?平面ADE

∴MN∥平面ADE.但是，需要注意的是，有時，題目沒給比例，但隱含比例，要善于挖掘比例.例如，在高中數學中的這一例題而言，如圖3已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP=DQ.

求證：PQ∥平面CBE.

在這道題中，雖然沒有直接告訴我們比例關系，但我們通過讀題可以挖掘出兩個矩形中所蘊含的比例關系.

∵AP=DQ,

∴EP=BQ.

又AB=CD,EA=BD,

∴PM=QN.又PM∥QN，∴四邊形PMNQ是平行四邊形，

∴PQ∥MN.

∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

四、中位線定理解決立體幾何中的線面平行問題

高中數學里，中位線定理是我們十分常用的定理，不管是在平面幾何，還是立體幾何中中位線定理都有極為廣泛的應用.當然，在立體幾何中，我們必須把線段轉化在同一平面內才可以繼續使用，因為中位線定理只可以研究平面中線段問題.其實，使用中位線定理便是利用面面平行在逆推出線面平行.其中面面平行所使用的定理如下所示：如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.幾何語言：a?α，b?α，且a∩b=A，a∥β，b∥β，則α∥β.

求證：MN∥平面ADE.

在這道題中，我們先確定出要使用中位線定理，于是我們延長DA，CB交于點F，過點M作MP∥EF，再連接NP,于是便構造出了平面FDE與平面PMN平行，通過面面平行，再結合中位線定理，便可以推出MN∥平面ADE.證明如下.

證明 延長DA，CB交于點F，過點M作MP∥EF，再連接NP.

∵M是BE的中點,

∴P是FC是四等分點.

∵DF∩EF=F，NP∩MP=P.

∴平面NPM∥平面DFE.

∵MN?平面NPM，MN?平面ADE,

∴MN∥平面ADE.

終上所述，本文通過同一道題介紹了立體幾何中線面平行的三種解題方法：利用平行四邊形的性質解題；利用比例關系解題；利用中位線定理和面面平行定理相結合解題.一題多解拓寬了我們解題的思路，當然數學的學習講究融會貫通，將相關的舊知識同新知識聯系在一起.做幾何題，培養靈活思維，運用多種方法可以幫助我們更快地解決問題.

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1008-0333(2016)31-0037-02