“算兩次”在解析幾何中的應用

江蘇省鎮江中學(212017)

陸建根●

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“算兩次”在解析幾何中的應用

江蘇省鎮江中學(212017)

陸建根●

解析幾何是用代數方法解決幾何問題的一門學科，是中學數學的重要內容，它本身就是數形結合的產物，而“數”與“形”是一個事物的兩個方面.解析幾何的很多問題看似簡單，但是計算很復雜，這就要求我們能將問題進行合理的轉換，探求問題的另一面，尋找簡捷的求解方法.所以解析幾何的很多內容跟“算兩次”有著十分密切的關系.“算兩次”的基本做法是，選擇一個適當的量，從兩個方面去考慮，“一方面…，另一方面…，綜合起來可得…”.本文談談“算兩次”在解析幾何中的一些應用，供參考.

一、求軌跡方程

例1 普通高中課程標準實驗教科書選修2-1習題2.2(1)第8題：

從上述過程可以看出求軌跡方程是十分典型的“算兩次”的運用.

二、第二定義的運用

例2 普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1，2.5圓錐曲線的統一定義，習題2.5第6題：

已知點P在拋物線x2=4y上運動，F為拋物線的焦點，點A的坐標為(2,3)，求PA+PF的最小值及此時點P的坐標.

解 如圖1，拋物線x2=4y的準線為y=-1.點P到焦點的距離PF等于點P到準線的距離，問題就轉化為拋物線上的點P到點A的距離與到準線的距離之和最小，顯然當PA垂直準線時距離之和最小，最小值為4，此時點P的坐標為(2,1).

圓錐曲線中很多圓錐曲線上的點到焦點距離的問題都需要轉換，有時是轉換成到對應準線的距離，有時是轉換成到另一個焦點來處理.

涉及焦點弦的問題幾乎都要通過轉換，考慮圓錐曲線上的點到準線的距離.

我們可以把問題一般化：

通過將AF,BF轉換成到準線的距離，從而將復雜的坐標運算的問題轉化為簡單的解三角形問題.

三、斜率的表示

(1)求橢圓C的方程；

(2)求證：以MN為直徑的圓過x軸上的定點，并求出定點的坐標.

例5 已知拋物線C:x2=2y及一點P(2,1)，試求過點P的拋物線C的切線方程.

注：這里從兩個不同的角度：求導和兩點連線的斜率公式得到的斜率是一致的，這種是“算兩次”在求有關切線的斜率時用得比較普遍.

四、面積公式的運用

解 如圖4，設PF1=m,PF2=n，則對m,n“算兩次”.

一方面點在橢圓上，m+n=8，平方得m2+n2+2mn=64，

另一方面三角形PF1F2為直角三角形，m2+n2=(2c)2=36.兩式作差得2mn=28.

再對三角形PF1F2的面積算兩次可以使得一些問題的求解變得很簡單.

五、求離心率

求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是要得到關于a,b,c的一個等式.

例7 已知A,B分別是橢圓右頂點和上頂點，從橢圓上一點P向x軸作垂線，垂足為左焦點F，且AB∥OP，試求橢圓的離心率.

所以“算兩次”是一種重要的解題方法，更是一種重要的思維方式，我們在教學中要善于引導學生用“算兩次”的方式來考慮問題，開拓思路，活躍思維，提高分析問題和解決問題的能力.

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1008-0333(2016)31-0020-02