用圓錐曲線的定義求解一類絕對值不等式

廣州市花都區第二中學(510800)

楊偉達●

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用圓錐曲線的定義求解一類絕對值不等式

廣州市花都區第二中學(510800)

楊偉達●

一、橢圓類不等式

它表示橢圓類不等式，它的解集

例1 (2014·廣東高考9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為____．

分析 此題為橢圓類不等式．問題關鍵：用橢圓的定義求出它的中心、頂點．

解 此題屬于橢圓類不等式，它的解集為“兩邊開”．

分析 第一問：若采用去絕對值符號進行分類討論比較復雜、易錯，若把它看成橢圓類不等式，簡單易懂；第二問：化簡后在某區間內滿足含參絕對值不等式，并發現其區間端點恰好為函數f(x)=|2x-1|+|2x+a|的零點.因此，此題屬于橢圓類不等式的特殊情況，焦距等于常數，它的解集為兩零點的中間，簡稱為“夾中間”.

解 (1)依題可知：當a=-2時，原不等式轉化為：

|2x-1|+|2x-2|≤x+3

由①②可得：當a>-1時，

解得：x≥a-2.

二、雙曲線類不等式

它表示雙曲線類不等式，它的解集為

例3 (2013·遼寧高考)已知函數f(x)=|x-a|，其中a>1.(1)略.(2)已知關于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值．

分析 這是一道關于絕對值的函數題.變形后為含參數的絕對值不等式.此題屬于雙曲線類不等式，根據它的定義可求它的中心、頂點，用數形結合將問題解決.

解 (1)略.(2) ∵f(x)=|x-a|，其中a>1，

原不等式轉化為：︱|x|-|x-a|︱≤1，

此題屬于雙曲線類不等式，它的解集為“夾中間”.

根據條件可知：不等式解集為{x|1≤x≤2}，

例4 (2012·廣東9)不等式|x+2|-|x|≤1的解集為____．

分析 此類絕對值不等式屬于雙曲線類不等式．因式子|x+2|長度較長，-2<0, 因此可判斷雙曲線類不等式右支．解題的關鍵是求出它的中心、頂點．

解 因|x+2|長度比較長，所以此題屬于雙曲線類不等式右支，它的解集為“左邊開”．

如圖10所示：

F1=-2，F2=0，

三、拋物線類不等式

總之，對于圓錐曲線類不等式，可通過它的定義求出它的中心、頂點，再畫圖、用圖，求解過程簡單、易懂.它一方面“去絕對值”繞開了分類討論，另一方面避免運算繁雜造成的錯誤，不僅加深了圓錐曲線定義的理解，而且對絕對值不等式有了新的認識.

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1008-0333(2016)31-0015-03