例說巧用數學思想解決圓錐曲線綜合問題

安徽省利辛高級中學(236700)

陳國林●

江西贛南師范大學科技學院(341000)

寇桂宴●

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例說巧用數學思想解決圓錐曲線綜合問題

安徽省利辛高級中學(236700)

陳國林●

江西贛南師范大學科技學院(341000)

寇桂宴●

數學思想是解決數學問題不可忽視的一部分內容，在解決圓錐曲線問題時，由于其運算量比較大,而且容易出現計算上的錯誤,如果在求解問題時能夠充分地利用數學思想方法,可以減少運算量,因此同學們在掌握其基礎知識的同時,還應注意數學思想的提煉、總結．下面舉例介紹,供大家參考．

一、1.數形結合思想

答案:A.

點評 本題考查了余弦定理和雙曲線的定義和幾何性質.在幾何問題的求解中例如離心率、最值問題和取值范圍問題，如果能畫出圖形并結合圖形上點的條件進行觀察轉化，能夠幫助你快速求解題目.

二、分類討論思想

例2 (2016年浙江省紹興市高三質檢)已知點M(2,1)及圓x2+y2=4，則過點M的圓的切線方程為____.

分析 當切線斜率不存在時，顯然x=2成立，當斜率存在時，設斜率為k，利用點到直線間的距離公式d=r列出關于k的方程，解之即可求出.

綜上可知，切線的方程為x=2或3x+4y-10=0.

點評 本題考查圓的方程和直線與圓間的位置關系．對于直線方程，根據斜率存在與否是本題產生討論的原因．

(1)求橢圓C的方程；

又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，

三、函數與方程思想

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設點A，B分別是橢圓C的左、右頂點，過點(1,0)的直線l與橢圓交于M，N兩點(M，N與A，B不重合),證明：直線AM和直線BN交點的橫坐標為定值.

點評 解析幾何中的許多問題都需要利用方程思想去解決，例如求定值問題、直線和二次曲線的位置關系問題等等，都需要聯立方程通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數的有關理論需要建立函數關系或構造函數，一般可以運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題使問題獲得解決.

四、化歸與轉化思想

分析 設出P1的坐標，表示出四邊形P1AOB的面積S，利用兩角和公式整理后，利用三角函數的性質求得面積的最大值，進而求得△P1AB的最大值，利用最大值判斷出點P的位置.

答案:2

點評 化歸與轉化思想是解析幾何中最常用的數學思想之一，在解決解析幾何問題中如果遇到一些難處理的問題，如果將問題轉化到其它問題上求解會更易處理，比如點的個數，最值問題等.

G632

B

1008-0333(2016)31-0008-02