解析幾何中的范圍與最值問(wèn)題的求解策略

武漢理工大學(xué)理學(xué)院(430070)

方炫蘇●

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解析幾何中的范圍與最值問(wèn)題的求解策略

武漢理工大學(xué)理學(xué)院(430070)

方炫蘇●

解析幾何中的范圍與最值問(wèn)題綜合性強(qiáng)、變量多、涉及知識(shí)面廣，是難點(diǎn).解答這類問(wèn)題往往運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值等來(lái)解決.

一、利用題設(shè)條件中的不等關(guān)系

若題設(shè)條件中有不等關(guān)系，可直接利用該條件求參數(shù)的范圍.

二、應(yīng)用判別式建立不等式關(guān)系

若題設(shè)中給出直線(或曲線)與曲線有公共點(diǎn)或無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，可以把直線方程(或曲線方程)與曲線方程聯(lián)立起來(lái)，消去某一個(gè)未知數(shù)，得到含另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，就能利用判別式建立所含參數(shù)的不等式.

例2 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線．當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

點(diǎn)評(píng) 該題含有兩個(gè)參數(shù)b，m，先由直線AB與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)用判別式求出參數(shù)m的范圍，再由題意找出兩個(gè)參數(shù)b，m之間的關(guān)系式，最后求出參數(shù)b取值范圍.

變式訓(xùn)練 直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0)和AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸的截距b的取值范圍．

三、挖掘曲線的隱含不等式(幾何不等式)

對(duì)于一些特殊曲線，它們自身包含了一些不等關(guān)系，有些情況不等關(guān)系比較隱蔽，只有認(rèn)真地分析題設(shè)中的條件與結(jié)論，才能找到所需的含參不等式.

解 畫出圖形，結(jié)合圖形得到△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)對(duì)應(yīng)的直線所在位置．即可求出結(jié)論．

如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E.由橢圓的定義得：

△FAB的周長(zhǎng)：AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE.

∵AE+BE≥AB，∴AB-AE-BE≤0，當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào).

∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a.

(2)求四邊形ACBD的面積的最小值．

四、根據(jù)曲線方程中變量的范圍建立不等關(guān)系

由橢圓上任一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是有界的，通過(guò)有界性就可能找到變量間的不等關(guān)系.又如橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于短軸長(zhǎng)，也大于焦距長(zhǎng)，雙曲線的實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)小于焦距長(zhǎng)，焦半徑的范圍等等.對(duì)于圓與橢圓，當(dāng)點(diǎn)位于其內(nèi)部或外部時(shí)，應(yīng)滿足一定的不等關(guān)系.

由橢圓的范圍知0≤x2

五、利用基本不等式建立不等關(guān)系

對(duì)于某些與參數(shù)范圍有關(guān)的題目，如果利用上述四種方法不易建立符合題意的不等關(guān)系，就看能否利用代數(shù)中的基本不等式a2+b2≥2ab建立符合題意的不等關(guān)系.

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1008-0333(2016)31-0006-02