有技巧在定義
——橢圓定義應用舉例

福建泉州實驗中學(362000)

崔紅光●

福建泉州第五中學(362000)

楊蒼洲●

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有技巧在定義
——橢圓定義應用舉例

福建泉州實驗中學(362000)

崔紅光●

福建泉州第五中學(362000)

楊蒼洲●

一、運用定義求長度

解析 ∵|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2.

解析 因為|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，

故△ABF2的周為4a．

二、運用定義解焦點三角形

三、運用定義求軌跡

解析 建立直角坐標系，使x軸經過點B,C，原點O與線段BC的中點重合．

即點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓，且2c=6,2a=10．

即c=3，a=5,b2=a2-c2=25-9=16.

但當點A在直線BC上，即y=0時，A,B,C三點不能構成三角形，

例6 已知一動圓與圓O1:(x+3)2+y2=1外切，與圓O2:(x-3)2+y2=81內切，求動圓圓心的軌跡方程．

故|MO1|+|MO2|=10>|O1O2|，即M點的軌跡是以O1(-3,0),O2(3,0)為焦點的橢圓．

四、運用定義求最值

例7 (2011年福建省數學競賽暨2011年全國高中數學聯賽(福建省賽區)預賽試題)

解析 連接F2Q，直線F2Q分別交上、下半橢圓于點P1，P2．

五、運用定義巧轉化

很多考查圓錐曲線的問題都涉及到其定義問題，特別是一些技巧的問題都是利用定義解題的，所以我們在考慮問題時，一定要先考慮圓錐曲線的定義，這時候就要關注它的兩個焦點，把問題轉化為研究橢圓上的點到兩個焦點的距離的問題．

解析 延長F2M交PF1于點N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點.

例11 在△ABC中，A(-1，0)，C(1，0)，三邊長滿足：BC>AC>AB，且sinA+sinC=2sinB.求動點B的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．

解析 由已知條件可以得：|BA|+|BC|=4，由橢圓定義得B點的軌跡是以A，C為焦點的橢圓的一部分．

在三角形ABC中，|AC|=2，

由正弦定理得：

B點的軌跡是以A，C為焦點的橢圓．顯然橢圓的焦點在x軸上．

2a=4a=2,c=1,

∴b2=3，又|BC|>|AB|，故B點的軌跡是橢圓的左半部分,且除去左頂點(-2，0).

G632

B

1008-0333(2016)31-0004-02