常用邏輯用語中的參數范圍問題歸類解析

安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

付朝華● 朱賢良●

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常用邏輯用語中的參數范圍問題歸類解析

安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

付朝華● 朱賢良●

在我們日常交往、學習和生活中，邏輯用語是必不可少的工具，正確、合理地使用邏輯用語，就成為現代社會公民必須具備的基本素質之一．數學是一門邏輯性非常強的學科，表述數學概念和結論、進行推理和認證，都要使用邏輯用語．在常用邏輯用語的學習中，常常會遇見許多求參數取值范圍的問題，本文擬對此類問題作一歸類解析，供讀者朋友參考．

一、充分、必要條件中的參數范圍問題

由x2-2x+1-m2>0(m>0)得x<1-m或x>1+m，故q：x<1-m或x>1+m．

點評 本題以不等式為載體來考查充分、必要條件，求解的關鍵在于將其轉化為集合間的包含關系．特別需要注意的就是區分子集關系與真子集關系，比如本題中“p是q的必要不充分條件”的意思是“BA”，若改為“p是q的必要條件”，則意思是“BA”．

點評 本題求解過程中，先求出函數f(x)有且只有一個零點的充要條件所對應的參數a的范圍，再根據集合間的包含關系找到充分不必要條件．

二、復合命題中的參數范圍問題

點評 此類已知復合命題真假性求參數取值范圍問題，經常先借助真值表判斷p與q的真假性，再利用集合的觀點進行轉化：設參數所有可能的取值集合為U，若命題p為真時參數的取值集合為A，則命題p為假時參數的取值集合為UA；若命題q為真時參數的取值集合為B，則命題q為假時參數的取值集合為UB．因此，p與q一真一假時，參數的取值范圍就是(A∩UB)∪(B∩UA)．

例4 設命題p：關于x的方程2x2+x+a=0的兩個根x1、x2滿足x1<1

因為p∨q為真命題，即p為真命題或q為真命題，故a<-3或a>1．

點評 要避免在兩處轉化時犯錯：一是將命題p、q為真命題正確轉化為對應的參數范圍，二是將命題p∨q為真正確轉化為p與q的真假性．

三、全稱命題與特稱命題中的參數范圍問題

若0

若a≥1，則f(x)在(0,a)上遞減，在(a,+)上遞增，故1≤a≤2．

綜上，實數a的取值范圍是a≤2．

例6 已知命題p：?x∈R，使得4x-2x+1+m=0成立，且p為假命題，則實數m的取值范圍是____．

點評 轉化為方程有解問題處理：關于t的方程f(t)=m有解m的取值范圍是函數f(t)的值域．

四、雙量詞命題中的參數范圍問題

例7 已知函數f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，若?x1∈[-1,2]，?x2∈[-1,2]，使得f(x1)=g(x2)，則實數a的取值范圍是____．

分析 由題意，?x1∈[-1,2]，?x2∈[-1,2]，使得f(x1)=g(x2)x1∈[-1,2]，x2∈[-1,2]時，f(x1)的值域是g(x2)值域的子集，即[-1,3]?[2-a,2+2a]，即得a≥3．

點評 本題求解的關鍵在于將題意即含雙量詞的命題等價轉化：?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)=g(x2)f(x1)在D1上的值域?g(x2)在D2上的值域．

分析 由題意，?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)x1∈[0,3]，x2∈[1,2]時，f(x1)min>f(x2)min，即，即

點評 與例7相同的是本題中也含“任意”與“存在”雙量詞，但本題是不等式“f(x1)>g(x2)”．求解這類問題時的等價轉化形式為：①?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)>g(x2)f(x1)min>g(x2)min；②?x1∈D1，?x2∈D2，f(x1)

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