高考《坐標系與參數方程》難點透析

甘肅省張掖市實驗中學(734000)

王新宏●

?

高考《坐標系與參數方程》難點透析

甘肅省張掖市實驗中學(734000)

王新宏●

《坐標系與參數方程》是高考選考系列中較為簡單的，所以絕大多數學校都選修4-4《坐標系與參數方程》；縱觀近幾年的高考數學全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、陜西卷、湖南卷，對《坐標系與參數方程》的考查也有了更加新穎的方法，越來越喜歡考查應用參數方程求最值或范圍問題，越來越重視利用直線參數方程t的幾何意義求距離或相關問題，越來越注重應用極坐標求距離或面積，這對于部分考生來說是不熟悉的、不擅長的難點，現就將這些難點題型及解題規律梳理如下，供讀者參考使用.

一、利用曲線的參數方程求最值(范圍)問題

利用曲線的參數方程求解兩曲線間的最值問題，是非常簡捷、方便的，是我們解決這類問題最常用、最普遍的好方法.為此：

(1)必需熟悉常見曲線的參數方程，參普方程的互化以及參數方程的簡單應用；

(2)數形結合，根據圖形優化解題策略，是用參數法還是普通方程法.

(Ⅰ)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；

(Ⅱ)過曲線C上任一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值.

(Ⅱ)如圖1，在曲線C上任意取一點P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為：

評注 將曲線的參數方程化為普通方程的關鍵是消去其中的參數，常用的技巧有：代入消參，加減消參，整體消參，平方后加減消參等.一般地，如果題目中涉及圓、橢圓上的動點求相關最值(范圍)問題時，可考慮用其參數方程設出點的坐標，將問題轉化為三角函數問題得以解決，使解題的過程簡單明了.

例2 (2015年高考陜西卷理科第23題)

(Ⅰ)寫出⊙C的直角坐標方程；

(Ⅱ)Ρ為直線l上一動點，當Ρ到圓心C的距離最小時，求Ρ的直角坐標．

評注 求最值問題通常轉化為函數問題解答，難點是確定變量及建立函數關系式，幾何問題也常常數形結合，根據幾何意義確定最值點.

二、利用直線參數方程中t的幾何意義求與距離有關的問題

三、利用極坐標中ρ的幾何意義求有關距離或相關問題

《坐標系與參數方程》通常的解題思路是把極坐標方程、參數方程都化為直角坐標方程，用普通方程的方法解決，但也不盡然.

大家知道，極坐標中的ρ為極徑，表示曲線上這一點與原點O之間的距離，為此與原點O有關的距離、面積等問題都可首先考慮運用極坐標中ρ的幾何意義解決它，這不僅是一種解題思路，更多時候它要比化為直角坐標運算簡便得多，是一種優化策略，可謂事半功倍.

例3 (2015年高考全國卷Ⅱ理科第23題)

(Ⅰ)求C2與C3交點的直角坐標；

例4 (2015年高考全國卷Ⅰ理科第23題)

解析 (Ⅰ)因為x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴C1的極坐標方程為ρcosθ=-2，C2的極坐標方程為ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.

四、與其它知識交匯問題

高考注重在知識的交匯點處命題，故《坐標系與參數方程》有可能與集合、向量、概率、函數、線性規劃、數列、定積分、程序框圖等交匯.

例5 (2014年高考浙江卷)

注：此文為甘肅省教育科學“十二五”規劃2013年度《新課改理念下高三數學復習高效策略研究》課題(課題批準號【GS2013】 GHB0771)成果之一.

G632

B

1008-0333(2016)31-0002-02