位似圖形研究與實(shí)踐

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)吳橋中學(xué)(225232)

馬 萍●

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位似圖形研究與實(shí)踐

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)吳橋中學(xué)(225232)

馬 萍●

一、位似圖形的概念

如圖1所示，每幅圖的兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)我們說這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似.

在圖1中，△ABC與△A′B′C是以O(shè)為位似中心的位似圖形，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是以O(shè)為位似中心的位似圖形，五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′是以O(shè)為位似中心的位似圖形.

(1)位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.位似圖形具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)；二是對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上.

(2)兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè).

二、位似圖形的性質(zhì)

根據(jù)位似圖形的概念，可得到位似圖形的四個(gè)基本性質(zhì)：(1)位似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線相交于一點(diǎn)，即經(jīng)過位似中心.(3)位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上；(4)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，到位似中心的距離之比等于相似比.

例1 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格是3.5cm×3.5cm，放映的屏幕的規(guī)格是2m×2m，若放映機(jī)的光源距膠片20cm，問：屏幕拉在距離光源多遠(yuǎn)的地方時(shí)，放映的圖像剛好布滿整個(gè)屏幕？

分析 四邊形ABCD(膠片)與四邊形A′B′C′D′(屏幕)是位似圖形，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段的比相等，列出比例式即可求解.

三、位似圖形的判定

判斷兩個(gè)圖形是不是位似圖形，先看它們是否相似，若相似，再看兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過同一點(diǎn)，若經(jīng)過同一點(diǎn)，則是位似圖形，否則不是位似圖形.

例2 如圖3所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)那么矩形ABCD與四邊形EFGH是不是位似圖形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，請(qǐng)說明理由.

解 ∵E,F,G,H分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，∴EFD.

∴EF∥GH,EF=GH,∠FEH=90°.

四、位似圖形實(shí)踐中易誤點(diǎn)

誤點(diǎn)1 弄不清位似與相似的關(guān)系而出錯(cuò)

位似圖形是特殊的相似科形，而相似圖形則不一定是位似圖形，只有當(dāng)相似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所成的直線交于一點(diǎn)(位似中心)時(shí)，相似圖形才是位似圖形，判斷兩個(gè)圖形是不是位似圖形，應(yīng)嚴(yán)格按位似圖形的概念去判斷.

例3 如圖4所示，∠ADE=∠ACB,試判斷△ADE與△ACB兩圖形是否為位似圖形？

解 不是位似圖形.因?yàn)椤螦DE=∠ACB,且∠A=∠A,所以△AED∽△ABC.但對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，C的連線與E，B的連線不交于點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)邊DE與CB也不平行，故△ADE與△ACB兩個(gè)圖形不是位似圖形.兩個(gè)圖形是不是位似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)位似圖形的定義去判斷，首先兩個(gè)圖形是相似圖形；其次是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)；然后對(duì)應(yīng)邊相互地或在同一條直線上.本題中圖形滿足第一個(gè)條件，但不滿足后兩個(gè)條件，易出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤.

易誤點(diǎn)2 求關(guān)于某點(diǎn)位似的圖形時(shí)容易漏解導(dǎo)致錯(cuò)誤.

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心將一個(gè)圖形按照一定的相似比k放大或縮小，有兩種情況：一種是兩個(gè)圖形在原點(diǎn)的同側(cè)，這時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比為k；另一種是兩個(gè)圖形在原點(diǎn)的異側(cè)，這時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比為-k，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)要把已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別乘k和-k得出兩種情況下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，有時(shí)由于考慮不全面，容易造成漏解的錯(cuò)誤.

例2 已知E(-4，2)，F(xiàn)(-1，-1)，以原點(diǎn)O為位似中心，按相似比1∶2，把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為( ).

A.(2,-1)或(-2,1)B.(8,-4)或(-8,-4)

C.(-2,1)D.(-8,4)

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky).

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