過程操作：數學教學價值的應然旨歸

江蘇省姜堰中學 (225500)

周 鵬●

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過程操作：數學教學價值的應然旨歸

江蘇省姜堰中學 (225500)

周 鵬●

注重數學課堂的“過程操作”，對學生的數學學習“過程操作”進行“數學化”的壓縮，將“過程操作”形式化、公理化，引領學生對形式化的抽象數學知識的形成過程進行充分地觀察、描述，逐步地抽象、概括，系統地反思、推理等，實現學生數學思維的提升.

具體;抽象;凝聚;思維;操作

本世紀初，英國數學教育家David Tall在融合了認知主義、結構主義和建構主義等的相關理論后，提出了“數學世界”是數學的“具體化世界”“符號化世界”“形式化世界”的有機交織，認為在學生的學習過程中，他們首先是感性地描述、表征，然后是演繹，進行“邏輯的推理”，最后是提取對象的性質，形成對數學知識的本質認識，產生形式化的定義、公理體系等.在高中數學教學中，我們要立足于學生對數學知識多元化的“心理表征”，對知識形成步驟精致化的“過程操作”和對數學知識簡約化的“抽象凝聚”.在這一系列過程中，要找準數學知識的生發點、生長點、生成點和延伸點.要對數學知識進行“精致化加工”,以讓學生精準化地掌握數學知識.

一、關注多樣化的“心理表征”，凸顯數學知識的本質屬性

學生認知數學知識是在已有的心理圖式上進行的，學習數學知識首先是建立心理表征.在高中數學教學中，幫助學生建立多元的知識心理表征可以擴充數學知識的聯結，增強數學知識的觸發點、延展點.例如高中數學教材中的“函數”概念，學生剛開始學習時同樣需要調動頭腦中相關的表象如“炮彈的軌跡”等進行認知加工，當抽象出函數的表達式后，學生就進入了符號化的加工，最后對函數概念形成本質認識，這時，學生實質上就是進入了函數的形式化世界.再如“等差數列”的概念，在學生通曉生活中常見的等差數列現象之后，筆者讓學生建立起多樣化的心理表征.如建立的文字形式是：從第二項開始的每一項與前一項的差始終是同一個常數；用通項的符號表征是：an-an-1=d(d為常數，n≥2)或者2an=an-1+an+1(n≥2)或者an=kn+b(k、b為常數)；用圖形表征就是：建立以(n，an)為坐標的點在一條直線上的表征；或Sn=An2+Bn(A、B是常數)，或者建立點(n，Sn)在過原點的拋物線上等.多元化的心理表征凸顯著數學知識的本質屬性，有助于學生對數學知識的理解和完整建構.

二、引領精致化的“過程操作”，讓學生步步數學實踐、創造

數學的“過程操作”主要是讓學生經歷數學知識的形成過程，這個過程伴隨著學生的感知、推理、抽象等的認知活動.數學作為人類“生命·實踐”智慧的結晶，理應讓學生重蹈其中的關鍵步子.在高中數學教學中，如果學生沒有經歷猜想、驗證、判斷、比較、質疑、選擇等的探究過程，沒有自我的分析與綜合等的認知活動，沒有彼此爭論、碰撞等的觀點交流活動，學生就不能深刻理解抽象化的知識.例如“任意角”的概念，教學前首先要分析學生的認知水平，并且對數學教材進行充分地解讀.然后通過實例(如鐘表的旋轉、體操運動員的旋轉、扳手擰動螺絲的旋轉等)引入“任意角”概念.接著引領學生逐層探究：如何定義任意角(旋轉方向和旋轉量)；如何設定標準(引入象限角)；如何將角放入平面直角坐標系中？終邊相同的角如何用集合表示？通過精致化的“過程操作”，學生對任意角(正角、負角、零角)、象限角、終邊相同角的集合S={β|β=α+k×360，k∈Z}等知識有了精準的掌握.在這個過程中，學生運用了“數形結合”(畫圖操作)思想、類比思想(從數的擴充等現象聯想到角的擴充)、化歸思想(終邊相同的角的集合)、分類思想(k的不同導致角的象限不同)等.在這里，數學超越了機械的“模仿”和純粹的“紙筆訓練”，學生步步進行著數學實踐、數學創造.

三、推進簡約化的“抽象凝聚”，建立相關數學概念間的關聯

高中數學的學習需要呈現知識的不同層面.數學的“具體化世界”呈現著學生能夠進行數學理解的感性材料，使學生產生了多樣化的心理表征；數學的“符號化世界”讓學生經歷著數學抽象知識的誕生過程，領悟著數學知識生長、生成的關鍵節點；數學的“形式化世界”是對數學知識的必要凝聚、簡約抽象.如此，學生充分地展開著“數學化”活動，提升著思維經驗、方法經驗與思想經驗，學生對數學知識由“工具性理解”導向“關系性理解”，進而實現“創新性理解”.

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