骨折非平衡牽引與骨折移位關系數學模型的初建與應用

葉丹丹，張 飛，陳 偉，鄭占樂，李 升，張英澤(河北醫科大學第三醫院創傷急救中心，河北省骨科研究所，河北省骨科生物力學重點實驗室，河北 石家莊 050051)

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·研究快報·

骨折非平衡牽引與骨折移位關系數學模型的初建與應用

葉丹丹，張 飛，陳 偉，鄭占樂，李 升，張英澤*(河北醫科大學第三醫院創傷急救中心，河北省骨科研究所，河北省骨科生物力學重點實驗室，河北 石家莊 050051)

骨折；牽引術；數學模型

牽引是臨床常用的骨折復位方法[1-3]。骨折遠端牽引針的角度、方向與骨折復位，包括旋轉移位、重疊移位、側方移位，有著直接關系。牽引針的方向會影響到肢體機械軸線和骨折周圍軟組織的運行軌跡，若牽引針的角度不正常，則移位的骨折端難以達到正確的復位。本研究通過生物力學實驗并建立數學模型來觀察遠端牽引針角度與骨折遠端的移位關系。

1 理論基礎

剛體變換是指一個剛性幾何體在三維空間中作旋轉、平移的運動。 在運動學里，剛體在作一個位移的時候，剛體內部至少有一點固定不動，則此位移等價于一個繞著包含那固定點的固定軸的旋轉。三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉變換則不然，因為我們可選取空間任意方向作旋轉軸，因此三維變換處理起來更為復雜。若以坐標系的三個坐標軸x、y、z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉。此時用二維旋轉公式就可以直接推出三維旋轉變換矩陣。規定在右手坐標系中，物體旋轉的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。

①繞z軸正向旋轉γ角，旋轉后點的z坐標值不變,x、y坐標的變化相當于在xoy平面內作正γ角旋轉。

②繞x軸正向旋轉α角，旋轉后點的x坐標值不變，y、z坐標的變化相當于在yoz平面內作正α角旋轉。

③繞y軸正向旋轉β角，y坐標值不變，z、x的坐標相當于在zox平面內作正β角旋轉。

2 數學模型

2.1 模型1 以股骨干骨折為例進行建模，把股骨理想化為一個圓柱體，每次牽引針均經過圓柱的軸，不考慮肌肉對最終牽引效果的影響。在這個模型里，骨折近端的矢狀面是一個平面α，牽引針是看作線段AB，作經過骨折遠端圓柱的軸且與平面α垂直的平面β。任取在骨折遠端圓柱的軸上一點O為空間直角坐標系的原點，以此圓柱的軸為x軸，在平面β過點O作垂直于x軸的直線為y軸，過點O作垂直于平面β的直線為z軸。點O1是骨折遠端的切平面的圓心(圖1)。

圖1 立體模型1的空間直角坐標系

證明：設骨折遠端圓柱的軸OO1與牽引針AB的夾角為。在平面β上的牽引針AB在牽引力的作用下，繞z軸負向旋轉，這樣使在平面β上的牽引針AB與y軸平行。因為牽引針AB在冠狀面β上旋轉，所以骨折遠端圓柱自身不會發生轉動。我們可以把骨折遠端圓柱看作為線段OO1。設點O1的坐標為(x0,0,0)，旋轉后點O1的坐標為(x′,y′,z′)，則：

此時，牽引針AB與線段OO1在平面xoy上，所以我們可以轉換到二維空間上計算(圖2)。

圖2 牽引針在冠狀面上旋轉變化的平面直角坐標系

在圖2中，點O1的坐標為(x0,0)，旋轉后點O1的坐標為(x′,y′)，則：

即x′=cos((。直線OO1與直線的夾角為。

2.2 模型2 在模型1的基礎上，作垂直于骨折遠端圓柱的軸的平面γ，O是骨折遠端圓柱的軸與平面γ的垂足，牽引針是看作在平面γ上的過點O的線段AB。以O為空間直角坐標系的原點，以此圓柱的軸為x軸，在平面γ上，過點O作垂直于x軸的直線為y軸，過點O作垂直于y軸的直線為z軸。點O1是骨折遠端的切平面的圓心，線段EF是一個在y軸上的線段(圖3)。

圖3 立體模型2的空間直角坐標系

證明：設在水平面上的y軸與牽引針AB的夾角為。在平面γ上的牽引針AB在牽引力的作用下，繞x軸負向旋轉，這樣使在平面γ上的牽引針AB與y軸重合。因為牽引針AB在平面γ上旋轉，所以骨折遠端圓柱自身發生轉動，整體不會發生移動。此時，牽引針AB與骨折遠端圓柱自身在平面yoz上，所以我們可以轉換到二維空間上計算(圖4)。

圖4 牽引針在水平面上旋轉變化的平面直角坐標系

此時，若是牽引針AB與y軸重合，則牽引針AB需要旋轉角，即是股骨沒有發生位移的變化，只是自身發生了旋轉，使骨折處的吻合度發生變化。

3 討 論

牽引是糾正骨折移位最常用的方法。但如果牽引針的角度和方向與肢體的機械軸線不一致，違背了肌肉的正常運行軌跡，牽引會使骨折端發生旋轉、成角或側方移位等[4]。許多骨科醫生在臨床實踐中已經認識到了平衡牽引的重要性。目前，平衡的改變與骨折端移位的關系，特別是生物力學性能、肌肉的運行軌跡與骨折遠端的移位關系尚未建立數學模型。本研究通過對新鮮整具尸體標本進行生物力學實驗，初步建立了數學模型。

以股骨骨折為例建立數學模型，該模型將股骨理想化為一根直徑均一的圓柱體，牽引針經過該圓柱的軸，不考慮肌肉及重力的影響。通過系統計算發現，若牽引針AB在冠狀面與股骨成角，則牽開后遠端骨折塊在冠狀面上最終發生的旋轉。若牽引針在水平面上與冠狀面成角，則牽開后遠端骨折塊在水平面上最終將發生角旋轉。

[1] 王娟,李升,臧硯超,等.應用四肢長骨骨折快速復位器治療股骨骨折[J].河北醫科大學學報,2014,35(2):220-221，封三.

[2] 楊宗酉,陳偉,劉勃,等.應用四肢長骨骨折髓內復位器治療股骨干骨折[J].河北醫科大學學報,2014,35(11):1339-1340，封三.

[3] 魏俊強,劉利蕊,潘進社,等.仰臥位與側臥位閉合復位髓內釘內固定治療股骨干骨折的療效比較[J].中華創傷骨科雜志,2013,15(8):660-665.

[4] Chen W,Zhang T,Wang J,et al. Minimally invasive treatment of displaced femoral shaft fractures with a rapid reductor and intramedullary nail fixation[J]. Int Orthop,2016,40(1):167-172.

(本文編輯：劉斯靜)

2016-10-24；

2016-11-14

葉丹丹(1989-)，女，江蘇宿遷人，河北醫科大學第三醫院實習研究員，理學碩士，從事骨科相關數學模型研究。

*通訊作者。E-mail：yzling_liu@163.com

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1007-3205(2016)11-1356-03

10.3969/j.issn.1007-3205.2016.11.032