“謬誤”糾偏求真諦

【摘 要】 中學生在數學學習和解題過程中的“謬誤”主要有似是而非假亂真、生搬硬套模仿秀、偷龍轉鳳調包計等。本文依據歸因理論剖析學生解題錯誤成因，探求排障對策，以期提升學生思辨能力，規劃導學組合。

【關鍵詞】 中學生;數學學習;謬誤糾偏;歸因;導學組合;思辨提升

中學各門文化課的教學方式和應用取向都有所側重，有學科各自獨特的教育理念和功能定位。春蘭秋菊，各有千秋。

數學不僅是科學的工具，而且更具備文化價值。中學數學教學的思維訓練對促進學生大腦的全面發展，形成健全的人格和優良的思維品質無可替代。

中學數學，主要有兩大類分支：“代數”與“幾何”。代數中知識瑣碎繁雜，多種概念交織。思辨無處不在：僅負號和括號就貫穿于解題過程的始末。從整式、分式、根式等運算中，當學習各類方程的解法時，或討論函數的變異之處，不斷提升著學生的思辨能力。

幾何的推理論證，用文字、圖形、符號等數學語言進行連續的轉換。多角度、全方位的展示了數學的魅力！無論是由因導果還是執果索因，最終確立的是題設與結論邏輯上的必然聯系。通過系列證明題的訓練，使學生逐漸形成解題思路，逐步做到答題規范，不斷提高邏輯推理能力。

歸因是指觀察者為預測和評價觀察對象的行為，并對其行為過程進行的因果解釋。這種先覺者能追溯、推斷和解釋因果的理論稱之為歸因理論。屬于社會心理學的動機激勵理論范疇。其核心是從事件的行為結果追溯主因，使準確預測后繼行為成為可能。

歸因理論的鼻祖當屬美國心理學家海德。后經社會心理學家韋納等以實證研究充實和發展。韋納對影響行為結果的原因特性、原因結構等都提出了獨創性的見解。構建了原因源×穩定性×控制性的歸因三維結構模式。他認為任何一項原因都可從運行維度進行定性分析。

在教學中，教師憑經驗往往能推測學生將出現一些預知的解題謬誤。有時甚至故意布設陷阱與圈套，讓學生在不知不覺中發生錯誤的解答。直至無法理解的荒唐結論出現，致使學生們大惑不解！此時他們急想知道解題中產生錯誤的隱蔽原因，因而激發出學生們探究真理的欲望。

研究學生在解題過程中消極的歸因傾向，反而具備積極的警示功能！

數學教學理當培養學生的邏輯推理和思辨能力。中學生數學解題差錯不時發生。學生解題過程中的“謬誤糾偏”教學，在于教師的導引，對學生邏輯思維能力的形成和思辨能力的提高不可或缺。是訓練學生大腦的體操。

在教學實踐中，把“謬誤糾偏”作為導學組合中的一個元素，確實對提高學生的思辨能力是行之有效的。

古人云：“授人以魚，只供一飯之需，教人以漁，則終身受用無窮。”

教師常挖掘一些解題“謬誤”的反面教材，讓學生辨析糾正后印象更深刻。學生出現錯誤的解答信息，都是教師題庫中寶貴的教學資源，應當充分利用。幫助學生尋找解題錯因，在警示作用下學到正確的解法，這是值得探討的課題！

失敗乃成功之母，謬誤為真理先導！

學生解題謬誤五花八門，有必要分類剖析題目錯解的成因。（一、似是而非假亂真;二、生搬硬套模仿秀;三、偷龍轉鳳調包計）進而探求排障對策，提升思辨能力，規劃導學組合。

一、似是而非假亂真

中學數學新概念不斷。形式可用文字、符號、公式、性質、定義、公理、定理等呈現。數學概念反映的是“數”與“形”的本質特征。它具有類同性、排它性、抽象性、發展性等特點。而有的學生受舊概念思維定勢的影響，似是而非假亂真。此類謬誤在學生解題過程中層出不窮，通常有下述表現：

1、混淆概念的內涵

如，倒數與相反數，前者是分子與分母倒置，后者是正負符號相左。乘方與冪，表示運算過程與運算結果的區別。差的平方與平方差，在于運算順序不同。直角與90°，前者是角的名稱，后者是角度的量數。三角形對邊與對應邊反映的是同一三角形的邊角關系與不同三角形的邊與邊的關系。相似形與位似形，表示圖形同為相似形但位似形位置特殊。一元二次方程與二次函數，前者只是函數變量的值等于零時的特殊類型。

在概率論中，排列與組合，要看問題是否和順序有關。如：甲乙兩人排隊，有甲乙、乙甲兩種不同順序的站法，所以排列有A（2，2）=2種。再如：從甲乙兩個球中選2個，和取球的先后順序無關，所以組合有C（2，2）=1種。

對立事件與互拆事件：對立事件是試驗結果的非此即彼;而互斥事件只是不會同時發生。比如：擲骰子，正面朝上是1和非1，這兩事件是對立事件;而正面朝上是1和正面朝上是2則是互斥事件。對立事件一定是互斥事件（因不能同時發生），但互斥事件則不一定是對立事件。

2、無視概念的擴充

概念是最基本的思維形式，命題由概念構成。正確地理解概念，是學生掌握數學知識的前提。因此，數學的概念教學不可忽視。關于“數系”的擴充，是在歷史長河中逐步演變的。人類從認識自然數始，逐步擴展至算術數、分數、有理數、實數、復數…構筑了現代的代數體系。如在實數范圍內和在復數范圍內因式分解的結果是不同的。

概念具有確定性與擴充性，教師應告知學生數學概念是相對真理。隨著年級的升高和知識的累積，概念的內涵和外延都會變化。若受舊概念思維定勢的束縛，無視概念的擴充，則解題必將出錯。如 “角”概念的擴充：最初僅限于平角、周角。當高中時把角擴展到任意角之后，還經常有學生認為第一象限的角都是銳角，認識還停留在舊概念上。

3、聯想產生負遷移

聯想的負遷移，即用舊知識老辦法解決新問題。如，由（xy）2=x2y2聯想得（a+b）2=a2+b2;由=4聯想得a8÷a2=a4;由a（m+n）=am+an聯想得sin（a+b）=sina+sinb等，都是聯想的負遷移所致。

因此，教師需多進行概念的比較教學設計。

例如：對于反比例函數y=，下列說法不正確的是（C）

A.點（-1，6）在它的圖象上

B.自變量的取值范圍是x≠0

C.當x<0時，y隨x的增大而減小

D.當x>0時，y隨x的增大而增大

反比例函數的圖象稱為“雙曲線”。函數y=圖象的兩支分布在二、四兩個象限內。此選項極具隱蔽性，布設了陷阱：當x<0時，y隨x的增大而減小。殊知，只要是k<0雙曲線的兩支分布在二、四象限。在每個象限內，都是y隨x的增大而增大。這是反比例函數無可爭議的性質。因此，不正確地說法為（C）。這里是把k<0與x<0進行了概念聯想負遷移。

要對概念多質疑問難，捕捉新概念中的變異，消除錯誤的聯想產生的負遷移。澄清模糊認識，幫助學生解惑，作為教師責無旁貸。

二、生搬硬套模仿秀

在“三角函數”一章中，有近二十個誘導公式。如果死記硬背這些公式，抓不住本質（符號問題），極易出現生搬硬套的差錯。

總結誘導公式的規律，教給學生一句口訣：“縱變橫不變，符號看象限”。比如，用錯公式cos（-α）=cosα的概率是很大的。常見下面類型的錯解：

cos（-2π/3）=- cos（2π/3）=- cos（π-π/3）= cosπ/3=1/2

第一步就不假思索、生搬硬套用錯了公式sin（-α）=-sinα

正確的解法應是：

cos（-2π/3）=cos（2π/3）= cos（π-π/3）=-cosπ/3=-1/2

在二次函數的教學中，有關符號的方向性意義應得到充分的重視：如：

拋物線y=（x+2）2-3由拋物線y=x2平移得到，下列平移正確的是 （D）

A. 先向右平移2個單位，再向下平移3個單位

B. 先向右平移2個單位，再向上平移3個單位

C. 先向左平移2個單位，再向上平移3個單位

D. 先向左平移2個單位，再向下平移3個單位

觀察力是思維的起點，學生對題中符號的觀察無疑是第一反應。從算術數擴展至有理數的學習，學生處處受到“負數”及“減號”的困擾。由于數軸的方向性指引，形成了頑固的思維定勢，生搬硬套使此題的解答正確率低。而此題正確的選項卻是（D），令學生百思不得其解，教師破解時頗費周折！

三、偷龍轉鳳調包計

從三角形全等的判定方法始，學生開始接觸幾何證明題規范的書寫格式，關注題設與結論的因果關系。三角形全等中系統的判定方法是平面幾何證明的重要內容，在幾何證明中有著廣泛的應用。一般三角形全等有四條判定方法：“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”。此模型提供了明確的因果關系。在許多題中，給定的題設及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們細致的觀察、認真地分析。根據圖形的結構特征，挖掘潛在因素.把學生的探究進一步引向深入。

例1.如圖，若點D在AB上，點E在AC上且∠AEB=∠ADC則無法判定△ABE≌△ACD的條件是 （ ）

A.AD=AEB.AB=ACC.∠B=∠CD.BE=CD

圖形隱含的條件是公共角∠A?？紤]各組判定方法的條件必考慮此公共角。此題有已知條件∠AEB=∠ADC，公共角∠A ，若再選擇∠B=∠C，由條件“角角角”并不能判定三角形全等！經過后面的學習才知“角角角”只能判三角形相似。

任何數學命題均由條件與結論構成。學生在解題時忽略條件，重視結論的現象普遍存在。其實，結論是在特定的條件下才產生的。對條件既不能遺漏，也不能外加;對條件存在的范圍既不能縮小，也不能擴大。更不能把一般的條件特殊化。

要善于在審題時發現隱蔽條件，而這樣的條件極易被忽視。

為加深學生對數學概念及定理的理解，教師往往精選一些相關的題型鞏固教學成果。如例2是反比例函數自變量值的大小的比較題：

例2.已知（x1，y1），（x3，y3），（x3，y3）是反比例函數的圖象上的三個點，且y1>y2>y3，則x1，x2，x3的大小關系是 （ ）

A.x3>x2>x1B.x1>x2>x3C.x3>x1>x2D.x1>x3>x2

我們知道雙曲線的圖象是斷開的。兩個已知條件表明雙曲線在第二象限。若已知點的縱坐標符號不同就無法比較。即不能失去“在每個象限內”的前提。若丟棄此前提，實際上就實施了偷龍轉鳳調包計。

習題錯解警示：對概念當理解本質，對結果要追本窮源，對知識須靈活運用。

在學生五花八門的解題亂象中，對癥下藥，從謬誤中求真諦，是教學的必要一環！

數學已然不是數字的運算了，它的觸角涉及廣泛：從整式的乘法與因式分解的互逆;由各類方程到不等式，把等量關系擴至不等關系;函數又讓數學由靜態轉為動態。數學世界，真是別有洞天！點動成線、線動成面、面動成體，大千世界處處皆幾何;三角形、矩形、菱形、圓形…，圖中的邏輯關系，闡明沒有規矩不成方圓的社會鐵律！

德國教育家第多斯惠精辟的指出：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于喚醒、鼓舞和激勵”。三尺講臺，數學教師任重而道遠。課堂上我們激發靈感、點燃學生智慧的火花。備課時我們致力于題型的發掘、教法的研究，為提升學生智能殫精竭慮。社會在發展，教研無止盡。主流還需引導學生積極的歸因動機。以導激學、以學促智。教學中擬進一步開展的定向探討：

迷惑型，挖掘學生批判選擇的能力。

類比型，訓練學生舉一反三的能力。

發散型，引導學生求異創新的能力。

【參考文獻】

[1] 焦忠安，談數學教學中思維能力的培養，教學月刊>（中學理科版），2000.5.

[2] 張小平，歸因理論及其在高中數學教學中的應用，數學教學研究，2008.7.

[3] 朱炳炎，淺談中學數學中糾錯習慣的培養，中國科教創新導刊，2013.18.

【作者簡介】

汪利文，任職于浙江體育職業技術學院，中學數學高級教師.