淺談數形結合思想在小學數學教學中的應用

文/卜朝輝

淺談數形結合思想在小學數學教學中的應用

文/卜朝輝

“數缺形時少知覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。” 這幾句話形象而貼切地解讀了數形結合的數學思想。“數”與“形”是數學中兩大研究對象。那何為數形結合呢？所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合是數學解題中常用的思想方法，它可以使某些抽象的數學問題直觀化，也可以使某些直觀的數學問題抽象化，是抽象思維與形象思維的相互轉化過程，有助于把握數學問題的本質。

根據對人類大腦的研究發現，人類大腦的兩半球具有不同的功能，其中，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規范嚴謹，穩定封閉。而人的右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發散。左右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發達。數形結合思想就同時運用了左右半腦的功能，在解決問題的同時，能達到既培養形象思維能力，又促進邏輯思維能力發展的效果。

我的疑問——數形結合是先有數，還是先有形？

數形結合的數學思想是通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。我不禁深深地思考一個問題：數形結合到底是先有數后有形，還是先有形后有數呢？很多人說法不一。根據對小學階段的數學教材進行分析，一般認為在小學的兩個學段中，這兩種情況各有側重。

第一學段，由于學生以具體形象思維為主，一般是先有形，從形中抽象出數。比如：學習“100以內數的認識”時，在了解“十”與“百”之間的十進制關系，認識計數單位“百”這個教學環節時，可先讓學生先從學具盆中拿出10塊糖放成一堆，問：“10個一是多少？”接著又拿出“1個十”，問：“現在是幾個十？”把剩下的十個一堆擺出來，并要求學生十個十個地數，得出：10個十是一個百。然后出示10個小正方體，說明10個一是1個十，接著繼續出示小正方體又讓學生十個十個地數到一百。這個教學環節從“實物——圖形——數字”，是一個從具體到抽象的過程，這里的數形結合的思想就是先有形，近而抽象出數。

第二學段，學生從具體形象思維已逐漸向抽象邏輯思維發展，這時數形結合的思想一般是先有數，后以形作為數的支撐。比如：有關分數的實際問題。“在甲、乙兩地間鋪一條光纜。當完成全部工程的時，恰好超過中點80千米。這條光纜全長多少千米？”這個題目的數量關系學生只從字面理解有困難，但是復雜的數量關系，如果結合了直觀線段圖，問題馬上就化難為易了。這里是先有數，而后有形，數形結合解決了實際問題。

數形結合是先有數，還是先有形？這個問題，引領人們不斷去研究教材，從而對數形結合的數學思想有了進一步的了解。看來，數形結合的數學思想在教學中要根據不同的學段靈活運用。

以形助數，以數解形，演繹數與形的完美結合

數形結合包含“以形助數”和“以數解形”兩個方面。前者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的；后者是借助于數的精確性和規范性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的。數與形互為依存，兩者無法分割。在教學中，哪些方面的內容可以運用數形結合的數學思想呢？

以形助數 首先，在數的認識教學中滲透數形結合思想。在小學階段數的認識主要包括認識自然數、小數、分數和負數。在認識自然數和小數時，因為它們都是十進制計數法，因此在教學時都可以采用前面舉例中提到的“認識100以內數”的方法，采用小正方體或小正方形的直觀圖，幫助學生建立數概念。對于分數的認識更是離不開圖形，往往單位“1”概念的形成都是以圖形作為表象，從而達以理解分數的意義。在學習負數時，數形結合主要體現在數軸上的點與數建立了一一對應的關系，使抽象的負數能夠形象地印在了學生的腦海里。從這些例子可以看出，認識數的教學，真的離不開形。形是溝通實物與數的橋梁，也是思維發展的橋梁。

第二，在數的運算教學中滲透數形結合思想。小學數學內容中，數的運算是重頭戲。計算教學的重點就是引導學生理解算理，掌握算法。算理是計算方法的道理，學生不明白道理又怎么能更好地掌握計算方法呢？正所謂“知其然、還要知其所以然”。那么在幫助學生理解算理的過程中，就可以適時運用數形結合的數學思想。如：分數除以整數的教學，，理解其算理

第三，在解決問題的教學中滲透數形結合思想。在解決實際問題的教學中，數形結合的數學思想又成了一種解決的方法。小學階段主要是利用線段圖來幫助分析、解決。從低年級有關“倍”的實際問題，到中年級的“行程”問題，再到高年級的分、百實際問題，解決這些問題都是把反映數量關系的“數量”與“線段圖”緊密結合，這樣很快就能找到了解題方法。這里利用數形結合的思想主要目的是借助圖形把抽象、復雜的數量關系形象化、直觀化，以幫助理解題中的數量關系，拓寬解題思路，提高解題能力。

第四，在探索規律的教學中滲透數形結合思想。新課改后，數學教學中新增加了“探索規律”的內容。其中很多題目都體現了數形結合的數學思想。如：

這個題目，每增加一個小正方形，所擺小棒的根數也會有規律地增加。這類從圖中隱藏的規律，用數的形式表示出來的題目，數形結合對于學生思維的發展非常有益。

以數解形 上面更多的談到的是以形助數的例子。實際在圖形教學中，“數”也起到了非常重要的作用。“形”具有形象直觀的優勢，但也有其粗略、煩瑣和不便于表達的劣勢。只有以簡潔的數學描述、形式化的數學模型表達“形”的特性，才能更好地體現數學抽象化與形式化的魅力，使學生更準確地認識和把握“形”。

其中對于圖形的周長、面積、體積計算公式的歸納都是學生對形體直觀知覺的深化。如：學習長方體的體積，是把一定數量的小正方體擺成不同的長方體，從中得出了長方體的體積與長寬高有密切的聯系。得出了長方體的體積公式。這個過程就是以數解形的過程，長方體體積最終是用數表現出來。這樣的例子還有很多：“π”一個數值便揭示了圓的周長與直徑的關系；小小的13明確了等底等高圓柱和圓錐體積的內在聯系。

小學數學教學中，所涉及的數形結合，決非僅局限于以上列舉的幾個方面。但無論是“以形助數”還是“以數解形”，數與形都猶如鳥的雙翼、草的根莖，二者密不可分。數與形的完美結合，演繹了數學的精彩。

運用數形結合的數學思想需要注意的兩個問題

滲透有度，潤物無聲 小學階段要讓學生獲得一些數學思想方法，但絕不是大張旗鼓地告訴學生，而是在教師精心設計下，讓學生自己體會，逐漸滲透。這種滲透的結果，是讓學生能見到有關數的問題，便會想到用形來幫助解決；而有關形的知識，便會與數建立聯系。因此，教師在教學時，要做到滲透有度，潤物無聲。

讓數形結合的過程成為探究的過程 讓我們一起回顧上面舉的例子：數的認識中建立數概念的過程，數的運算中探尋算理的過程，解決問題的分析過程，探索規律的發現過程，圖形中公式的推導過程……這些既是讓學生體會數形結合的數學思想的過程，同時也是學生動手操作、動腦探究的過程。教師在教學時一定要給學生充分體驗和探究的空間，使學生在收獲數學思想方法的同時，思維得以發展，能力得以提升。

數形結合的數學思想的內涵深遠，從古至今魅力不曾衰減，決非只言片語就能說清。在今后的數學教學中，教師要更加關注數形結合的數學思想在教學中的應用，讓數與形的完美結合使數學更加富有生命力。

（作者單位：北京教育學院附屬大興實驗小學）