輕彈簧之“困境”

趙志棟 陳光紅

(寧波市鄞州中學 浙江 寧波 315100)

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輕彈簧之“困境”

趙志棟 陳光紅

(寧波市鄞州中學 浙江 寧波 315100)

本文由輕彈簧這一物理模型的力學特征和能量特征出發，引出輕彈簧模型在解題中可能導致的困境，再分別從經典力學和狹義相對論的角度論證了困境出現的原因以及相應的解決困境的方法．

輕彈簧 能量 困境 經典力學 狹義相對論

輕質彈簧(以下簡稱輕彈簧)——即質量等于零，且其彈力與形變之間滿足胡克定律的彈簧，是中學物理解題中常見的一類理想化模型．將普通彈簧簡化為輕彈簧可以為解題帶來很大的方便，然而這個看似簡單的模型本身也蘊含著一定的“困境”，本文試淺析之．

1 輕彈簧的力學特征

輕彈簧由于其質量為零，由牛頓第二定律可知，其兩端的作用力一定大小相等，方向相反．

【例1】如圖1所示，一重物m懸掛在輕彈簧下，再用一細繩固定在天花板上，整個裝置平衡靜止后，用火焰燒斷細繩．在繩斷開的瞬間，m的加速度為a(忽略空氣阻力)，則：

A．a

B．a=g，方向向下

C．a>g，方向向下

D．a

圖1

由于細繩剪斷瞬間作用于彈簧上端的力瞬間變為零，由輕彈簧所受合力一定為零可知，其下端受力也為零．因此彈簧對物體的拉力也瞬間變為零，從而物體只受重力，其加速度等于g．

2 輕彈簧的能量特征

當輕彈簧兩端連接有質量的物體時，這個系統可以儲存彈性勢能．將彈簧處于原長時的彈性勢能記作零，則在彈性限度內，彈性勢能的與彈簧形變之間的關系滿足：

其中Ep為系統的彈性勢能，κ為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量．

【例2】如圖2所示，小球自a點由靜止自由下落到b點時，與彈簧接觸，至c點時彈簧被壓縮到最短，若不計彈簧質量和空氣阻力，在小球由a→b→c的運動過程中：

圖2

A．小球和彈簧的總機械能守恒

B．小球的重力勢能隨時間均勻減少

C．小球在b點時動能最大

D．小球到c點時小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量

參考答案選A,D.

詳細解釋如下：以小球和彈簧組成的系統為研究對象，小球運動過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，符合機械能守恒的條件，因此，系統的機械能守恒，故A正確；小球下落過程只有重力與彈簧彈力做功，到c點時小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量，故D正確．

類似以上參考答案的解釋在很多參考書中非常常見，但其中的諸如“小球的重力勢能”、“彈簧彈性勢能”這類說法本身就是有問題的．“小球的重力勢能”事實上是小球和地球組成系統的重力勢能，脫離了地球，重力勢能也便無從談起；“彈簧彈性勢能”事實上是小球、彈簧和地球組成系統的彈性勢能，沒有了小球或地球，彈簧的彈性勢能也無從談起．大多數情況下，對于題目中所述的某個物體的重力勢能我們都理解為物體與地球所組成系統的重力勢能；但如果將彈簧彈性勢能理解為彈簧自身所儲存的能量或理解為彈簧與其中一個與其連接的物體所共同具有的能量的話，都不是正確的理解，都會導致“困境”的出現．

3 輕彈簧之“困境”

困境一：機械能突變問題．

【例3】情景如例1，試討論繩斷開前后小球和彈簧組成的系統的機械能變化情況．

讓我們先從彈簧的彈性勢能或彈簧與小球組成系統的彈性勢能角度出發來理解，當然這也是常見的理解方式：

那么困境就出現了：那消失的彈性勢能去哪兒了呢？

困境二：功能原理失效問題．

【例4】如圖3所示，有一質量為M=2 kg的物體，其左端通過輕彈簧施一大小為30 N的水平恒力F.若彈簧的勁度系數為κ=100 N/m，物體與水平面間的動摩擦因數為μ=0.3，求物體由靜止開始移動2 m時的速度．(g取10 m/s2)

圖3

解法一：以彈簧和物體整體為研究對象，根據功能原理(外力和非保守內力對系統的總功等于系統機械能的增量)知，恒力F和滑動摩擦力對系統做的總功等于系統的機械能增量，即

其中s為物體的位移，Δx為彈簧的形變量，代入數值后解得

v=7.25 m/s

解法二：由輕彈簧兩端力必大小相等，從而可對物體使用動能定理，得

代入數值后解得

v=6.93 m/s

于是困境出現了：兩種解法都沒有錯，那造成結果不同的原因又在哪兒呢？

困境三：研究對象選取不合理的困境．

【例5】一質量為m的小球與一勁度系數為κ的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動．試問在一沿此彈簧長度方向以速度u做勻速運動的參考系里觀察，此體系的機械能是否守恒，并說明理由．

此題的參考答案在教師中引起了比較大的爭議．《物理教師》、《物理通報》等期刊上有教師專門就此題展開討論[1～4]，認為守恒和不守恒的教師各有自己的依據，最后并沒有形成統一的意見．

困境出現：從數學推導的角度來看，幾位教師的推導都是正確的，那么這個體系的機械能究竟守恒還是不守恒呢？

4 似是而非的“困境”

4.1 該如何理解輕彈簧

從力學特征來看，輕彈簧能夠為與它連接的物體提供一種線性回復力——為此可以將輕彈簧想象成一種“場”，類似于引力場或者電場，不同的地方在于，后二者對物體提供的是一種與距離平方成反比規律的“回復力”．還有一個重要的不同——輕彈簧是沒有質量的，而無論是引力場或者電場，都是有質量的.那么問題就來了：可以存在無質量的場嗎？或者說可以存在無質量的物體(物質)嗎？如果一個物體(物質)沒有質量，那我們還能稱它為物體(物質)嗎？我們如何能夠感知無質量的物體的存在呢？

就輕彈簧而言，也許最后一個問題很容易回答：我們可以通過輕彈簧提供的線性回復力來感知它的存在．于是從例1中可以看出，輕彈簧能夠提供線性回復力是有條件的，即只有當其兩端都連接有質量的物體時(細線燒斷之前)，它才可以提供線性回復力，其任意一端的物體斷開(細線燒斷之后)，則輕彈簧上的力也就馬上消失(減為零)．

力在空間的積累是為功，功是能量轉化或轉移的量度．因此，在輕彈簧上的力消失后，其對外做功的本領立即喪失，能量也就無從談起了．也就是說：我們討論彈簧的彈性勢能也是有條件的，條件與輕彈簧能夠提供線性回復力的條件相同——輕彈簧兩端必須連接有質量的物體．既然如此，如例2中所討論的那樣，我們通常所說的“彈簧的彈性勢能”所指的便既不是“輕彈簧自身的彈性勢能”，也不是“彈簧與小球(其中一個連接物)的彈性勢能”，而是“彈簧與其兩端連接物(組成系統)的彈性勢能”．

4.2 走出“困境”

有了以上理解，例3～例5中所出現的“困境”也就迎刃而解．例3中，在細線斷開前，系統是有彈性勢能的，斷開后，就不存在討論彈性勢能的前提條件了．例4中的解法1討論了系統的彈性勢能，但由于輕彈簧只有一端連接物體，并不存在討論彈性勢能的前提條件，因此是錯誤的；事實上，抽象的力要施予彈簧，必須是有質量的物體才行(引力場、電磁場等均有質量)，也就是說，要實現例4中的情景，彈簧的左端也必須連接質量不為零的物體——如若其左端連接質量為0.01 kg(可以為不為零的任意質量)的光滑小物體(可以不光滑)，則無論用解法一還是用解法二求解，M物體獲得的速度都是6.93 m/s．例5中亦然，脫離了固定墻面去談輕彈簧和小球系統的機械能相當于只談小球的動能，當然不守恒，而且沒有什么討論的意義．而把墻面也計入輕彈簧、小球系統的話，機械能當然是守恒的——而這其實也沒什么討論的必要．

4.3 相對論的視角

狹義相對論的相對性原理告訴我們：物理學在一切慣性參考系中都具有相同的數學表達形式，也就是說，所有慣性系對于描述物理現象都是等價的．因此在例5中，若系統在地面參考系(慣性參考系)看來其機械能守恒的話，在沿此彈簧長度方向以速度u做勻速運動的參考系(亦是慣性參考系)看來便沒有理由不守恒——從這一角度看來，這道題目的參考答案的確是錯了．

由狹義相對論的質能方程E=mc2可知：若m=0，則E必然也為零．由于輕彈簧自身不具備質量，自然也就無法儲存能量，只有連接了有質量的物體之后，儲存能量才成為可能，因此“彈簧的彈性勢能”必然是指“彈簧與其所連接物體系統的彈性勢能”，脫離了它所連接的物體，彈性勢能只能是空談——這一點也與我們在“該如何理解輕彈簧”中從力、做功和能量的角度所得到的結論是一致的．

由質能方程還可以看出，“輕彈簧”這一理想化的模型本身是有缺陷的，靜質量為零的物體其速度必然為光速(光子)，不應當存在靜質量為零而速度又是低速有限的物體，即輕彈簧不是物理學里的物體．

事實上，輕彈簧模型有著其天然的自我矛盾，即質量為零且可以與物體發生相互作用——這一矛盾在例4中體現得尤為明顯．在例4中，導致功能原理失效的原因在于彈簧的形變由零變為Δx的過程：在此過程中，彈簧的左端若施以恒力F，則彈簧會違反胡克定律，因此題干中的可以施以恒力F的假設本身就是自我矛盾的，自然因此假設根據功能原理而得出的結論也是錯誤的；而一旦彈簧質量不為零，施以恒力F就可以實現了，因此功能原理也就不會失效了．

盡管如此，輕彈簧作為一種理想化模型，在處理很多問題，尤其是力學問題時，會大大使問題簡化，并且對實際問題是一種相當好的近似，因此，輕彈簧的存在不僅是必要的，而且是有意義的．

5 一點思考

當我們討論輕彈簧的能量特征時，必然不能脫離其兩端所連接的物體，這一點是命題教師首先需要明確的——否則就會出現或如例3中的能量突變困境；或如例4中的功能原理失效失效的困境；或如例5中由研究對象選取不合理所導致的困境．

1 李學生，師教民．對一道中學生物理競賽試題答案的商榷．物理通報，2014(9)：119～120

2 孟昭輝．運用機械能守恒定律解題的參照系問題——對“對一道中學生物理競賽試題答案的商榷”的不同意見．物理教師，2015(2)：94

3 朱如曾．彈簧振子相對于運動慣性系的機械能不守恒——關于“對一道中學生物理競賽試題答案的商榷”的商榷．物理通報，2015(4)：100～102

4 師教民．答《彈簧振子相對于運動慣性系的機械能不守恒——關于“對一道中學生物理競賽試題答案的商榷”的商榷》．物理通報，2015(7)：115～118

2015-12-02)