“等時圓”及其應用

王存貴

(秦皇島市第一中學 河北 秦皇島 066006)

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“等時圓”及其應用

王存貴

(秦皇島市第一中學 河北 秦皇島 066006)

“等時圓”是高中物理的一個重要模型，本文先研究了“等時圓”模型的建立，接著讓學生們體會如何自己構造“等時圓”，以加深對“等時圓”的理解．

等時圓 最高點 最低點 光滑

學生在學習到牛頓第二定律這一部分內容時，常常會碰到“等時圓”這一類型的題目，由于初學會對“等時圓”的認識不夠深刻，經常會用錯，可見“等時圓”在高中階段是一種比較難的物理模型．所以我們有必要強化對“等時圓”基本規律的理解，這樣才有利于提高同學們的解題能力，開闊視野，下面筆者就先介紹一下等時圓模型．

1 等時圓模型的建立

【例1】如圖1所示，ad，bd，cd是豎直面內3根固定的光滑細桿，a，b，c，d 位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點，每根桿上都套著一個小滑環(圖中未畫出)，3個滑環分別從a，b，c處釋放(初速為零)，用 t1，t2，t3依次表示各滑環到達 d 所用的時間，則

圖1

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2D. t1=t2=t3

解析：設圓環半徑為R，桿與水平面的夾角為α，則桿長可表示2Rsin α，根據牛頓第二定律

mgsin α=ma

【練習1】

如圖2所示，ab，ac，ad是豎直面內3根固定的光滑細桿，a，b，c，d 位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點，每根桿上都套著一個小滑環(圖中未畫出)，3個滑環均從a處釋放(初速為零)，用t1，t2，t3依次表示各滑環到達b，c，d 所用的時間，則

圖2

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3

解析：設圓環半徑為R，桿與水平面的夾角為α，則桿長可表示2Rsin α，根據牛頓第二定律

mgsin α=ma

2 構造等時圓

有時命題人為了增加題目的難度，不直接在題目當中給出等時圓，這時就需要同學們根據對等時圓的理解，自己構造出一個等時圓，來解決問題．

2.1 釋放點在最高點的等時圓的構建

【例2】如圖3(a)所示，光滑細桿BC，DC和AC分別構成矩形ABCD的兩鄰邊和對角線，AC∶BC∶DC=5∶4∶3，AC桿豎直，各桿上分別套有一質點小球a，b，d，3小球的質量比為1∶2∶3，現讓3小球同時從各桿的頂點由靜止釋放，不計空氣阻力，則a，b，d 3小球在各桿上滑行的時間之比為

A．1∶1∶1 B．5∶4∶3

C．5∶8∶9 D．1∶2∶3

圖3

解析：通過讀題可知A，B，C，D 4點在以AC為直徑的圓周上，圓在豎直平面內，A是圓的最高點．因此我們就能夠以AC的中點O為圓心，OA為半徑畫出外接圓．如圖3(b)所示，利用等時圓的結論，可知時間之比為1∶1∶1．所以A正確．

總結3：當題中沒有直接給出等時圓時，需要我們自己去構造一個等時圓，并且要保證小球的釋放點是圓的最高點，或者小球到達的最低點是圓的最低點．

【練習2】如圖4(a)所示，AB和CD是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R和r的兩個相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點P，有一個小球由靜止分別從A滑到B和從C滑到D，所用的時間分別為t1和t2，則t1和t2之比為

A.1∶1 B.1∶2

圖4

解析：根據等時圓的結論很容易得出tAP=tCP，但是兩個小球到達P點時，有速度，所以對PD和PB桿沒有辦法應用等時圓的結論來研究tPD和tPB的大小關系．

因此對沿AB槽下滑的小球應用牛頓第二定律和運動學公式來求小球下落的時間．

假設AB槽與豎直方向的夾角為α，AB=2(R+r)cos α

mgcos α=ma

可以得出

可見t與α無關，故下滑時間相同，即tAB=tCD．所以選A．

我們再對這個時間的表達式和這兩個圓進行思考，大膽的猜想AB和CD槽是否也在同一個圓上，這個圓的半徑為(R+r)．即AB和CD槽是這個外切圓的弦．

下面驗證一下這個觀點，做一個半徑為(R+r)的圓，正好外切于大圓和小圓．小圓的最高點為F，連接AF，則AF與AB垂直，過F點做AB的平行線，與外切圓相交于H；大圓的最低點為G，連接GB，則GB與AB垂直，延長GB，交外切圓于H，GH與FH相垂直，ABHF構成了一個矩形，所以FH=AB．F，H，G 3點都在外切圓上，并且F是圓的最高點，因此可以應用等時圓的結論

tFH=tAB

所以

同理可證CD槽也是外切圓的一條弦．故下滑時間相同，即

tAB=tCD

【練習 3】如圖5(a)是一傾角為α的輸送帶，A處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在A與輸送帶間建立一管道(假使光滑)，使原料從A處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應為多大？

圖5

2.2 釋放點不在最高點的等時圓的構建

有時讓我們研究時間問題時，會發現物體的釋放點不在圓的最高點，所以這時題目當中給的不是等時圓，這個圓不能直接用，還需要我們自己以釋放點為最高點來構造等時圓，通過例題3來講解一下如何構造釋放點不在最高點的等時圓．

【例3】如圖6(a)所示，PA，PB，PC是豎直面內3根固定的光滑細桿，P，A，B，C位于同一圓周上，點D為圓周的最高點，C點為最低點．每根桿上都套著一個小滑環(圖中未畫出)，3個滑環分別從P處釋放(初速為零)，用t1，t2，t3依次表示各滑環到達A，B，C所用的時間，則

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3

圖6

總結4：釋放點不在圓的最高點時，需要自己構造一個圓，這個圓以釋放點為最高點，過所在軌道的最低點做垂線，垂線與釋放點所在的豎直線會出現一個交點，釋放點與交點之間的距離即為等時圓的直徑，中點為軌道所在等時圓的圓心．也可以這樣來構造等時圓，過軌道的中點做垂線，垂線與釋放點所在豎直線會出現一個交點，交點即為軌道所在等時圓的圓心，釋放點到交點的距離為等時圓的半徑．

1 王睿峰. “等時圓”的基本規律及其應用. 物理通報，2012(02)：125～127

2 陳棟梁.“等時圓”的等時“原理”在物理問題解決中的妙用.物理教師，2013(03)：28

2016-01-06)