物塊在有摩擦豎直圓軌道上的滑動速度*

陳龍法

(石獅市第一中學 福建 泉州 362700)

?

物塊在有摩擦豎直圓軌道上的滑動速度*

陳龍法

(石獅市第一中學 福建 泉州 362700)

研究物塊在有摩擦豎直圓平面內軌道上滑動時，用動力學方法列出的非線性微分方程，通常含時間變量，求解困難．經過系列變換消除時間變量后，得到了任意位置物塊速度的一般解，并獲得特殊值的驗證．

摩擦 豎直平面內圓軌道 消除時間變量 滑動速度

圖1

如圖2，令物塊滑動到C點時速度大小為v，OC連線與水平線夾角為θ，設滑動摩擦力f與軌道對滑塊的彈力N成正比，即

f=μN

(1)

圖2

在徑向應用牛頓第二定律

(2)

在切向應用牛頓第二定律

mgcos θ-f=mat

(3)

即

(4)

將這些關系式代入式(4)，得

將上式兩邊同除以r得

(5)

這是θ對t的非線性微分方程，難以直接求解．下面用消除時間變量的方法來簡化方程．

因

代入式(5)得

(6)

此方程中的ω是作為θ的函數，并且有

于是

(7)

兩邊乘以積分因子e2μθ，由于

所以式(7)可以化為

即

兩邊從0到θ積分

因物塊初速度為零，即θ=0時，y=ω2=0

所以

(8)

應用積分公式

和

于是，式(8)變為

化簡為

(9)

(10)

(11)

*福建省教育科學“十二五”規劃2015年度常規課題“高中物理教材二次開發案例研究”，項目編號：FJJK15-454

陳龍法(1961- )，男，中教高級，主要從事高中物理教學和研究.

2015-12-04)