借助圓錐曲線知識和求導方法解決拋體運動問題
——對2015年高考海南物理卷第14題的另解

馮海燕

(大慶實驗中學 黑龍江 大慶 163316)

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借助圓錐曲線知識和求導方法解決拋體運動問題
——對2015年高考海南物理卷第14題的另解

馮海燕

(大慶實驗中學 黑龍江 大慶 163316)

在高中階段， “拋體運動”是在物理學科的“曲線運動”部分學習的，主要是利用運動的分解將拋體運動分解成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的加速度為g 的勻變速直線運動．“拋物線”是在數學學科的“4圓錐曲線”部分學習的，主要是學習拋物線的標準方程、準線、焦點等知識．鑒于拋體運動中平拋和斜拋運動的軌跡就是拋物線，故在教學中完全可以將兩者有機地結合起來，以更好地落實《普通高中物理課程標準》中關于加強用數學知識解決物理問題能力的要求，更好地促進學生綜合能力的發展．下面筆者就2015年高考海南物理卷第14題(2)問嘗試用與參考答案不同的方法——用圓錐曲線知識和求導的方法來解決拋體運動問題．

(1)一小環套在軌道上從a點由靜止滑下，當其在bc段軌道運動時，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑；

(2)若環從b點由靜止因微小擾動而開始滑下，求環到達c點時速度的水平分量的大小．

圖1

原參考答案如下：

(1)環在bc段與軌道無相互作用，即環在這段以某一初速度v0做平拋運動，運動軌跡與軌道相同．由平拋運動公式有

s=v0t

(1)

(2)

設圓弧軌道半徑為R，由機械能守恒定律得

(3)

聯立式(1)～(3)，并代入題給條件得

R=0.25 m

(4)

(2)環由b處靜止下滑過程中機械能守恒，設環下滑至c點的速度大小為v，有

(5)

環在c點速度的水平分量為

vx=vcos θ

(6)

式中，θ為環在c點速度的方向與水平方向的夾角．由題意知，環在c點速度的方向和以初速度v0做平拋運動的物體在c點速度的方向相同；而做平拋運動的物體末速度的水平分量為

(7)

因此

(8)

聯立式(1)、(2)、(5)～(8)，得

(9)

筆者對該題目(2)問的解答方法如下：

以b點為原點O′，以過b點的水平線為x軸，以過b點的豎直線為y軸建立坐標系，如圖2所示.由題目可知，該拋物線軌道過原點(0，0)和(s，h)點．令該拋物線軌道的軌跡方程為

y=ax2+bx+c

圖2

易知b=0，c=0，則軌跡方程可簡化為

y=ax2

將點(0，0)和點(s，h)代入軌跡方程可得

則該拋物線的軌跡方程為

y=x2(x>0)

其導數方程為 y′=2x

圖3

易知

根據機械能守恒定律

得

則

上述方法方法也可以作為檢驗解答是否正確的一個方法．

2015-11-30)