補償法求剛體定軸轉動慣量的一般解

馮金地

(信陽師范學院華銳學院理工系 河南 信陽 464000)

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補償法求剛體定軸轉動慣量的一般解

馮金地

(信陽師范學院華銳學院理工系 河南 信陽 464000)

通過猜想加證明的方式得到了求解剛體定軸轉動慣量的一個新推論,由這個推論可以將組合定理進行推廣.工程力學上常常遇到的求解形狀復雜的均勻剛體的轉動慣量時此推論將會特別有用.本文最后通過一道例題，說明它具有簡單、快捷的優點，并有獨到之處.

轉動慣量 疊加原理 補償求和法

本文首先通過對該表幾個典型剛體轉動慣量的推導,探討相似剛體之間轉動慣量的內在邏輯關系，得到了轉動慣量組合定理的一個新的推論——補償求和法;最后通過一道例題說明它在工程力學上可以簡單快捷地求解某些結構復雜的剛體轉動慣量；同時此推論對大學理工科學生關于剛體力學中轉動慣量的深入理解也大有益處.

1 補償求和法的引入

1.1 同心圓環的轉動慣量

討論勻質質量為m,內外半徑分別為R1和R2的薄同心圓環,求對其任一直徑的定軸轉動慣量.如圖1所示,以y軸為定軸,可先求均質,質量為m,半徑為R的薄圓盤(圓心與原點O重合,圓盤置于xOy平面內)對y軸的轉動慣量.

圖1 同心圓環的定軸轉動

因積分區域為圓形,采用平面極坐標系(r,θ),如圖取質元dm=σdS=σrdrdθ，σ為質量面密度，質元dm到y軸距離r′=rcos θ,則有

I=Iy=∫r′2dm=?(rcos θ)2σrdrdθ=

代入m=πR2σ，得

(1)

即為薄圓盤對任一過其直徑的定軸轉動慣量.

本題中,圓環可等價為質量為m1，半徑為R1的圓盤被挖去一個質量為m2, 半徑為R2的同心圓盤, 設兩個同心圓盤對y軸的轉動慣量分別為I1和I2, 則我們猜想所求薄圓環對y軸轉動慣量I滿足疊加原理

I=-I1+I2

(2)

其中I1為想象的.則由式(1)，有

這一結果的正確性可由積分法予以驗證.

I=∫r′2dm=?(rcos θ)2σrdrdθ=

(3)

可見上述的猜想式(2)是正確的. 對式(3)作一討論是有趣的.

(1)R1→R2=R時,圓環變為細圓環(一維),得

(2)R1→0,R2=R時,圓環變為圓盤,得

此法可稱為補償求和法，在計算某些形狀復雜或被挖空的剛體轉動慣量時往往會很方便.

1.2 同心球殼的轉動慣量

圖2 同心球殼的定軸轉動

求勻質質量為m，內外半徑分別為R1和R2的同心球殼對其任一直徑為定軸的轉動慣量.如圖2所示,以z軸為定軸,采用補償求和法.

設半徑分別為R1和R2的兩同心球體(均為實心)的質量以及對定軸z軸轉動慣量分別為m1與m2和I1與I2. 因前者是虛構的, 取負號.則

(4)

且m=m2-m1,式中ρ為質量體密度，得

將m1,m2及ρ代入(4)得

(5)

即

(6)

為同心球殼對任一直徑的轉動慣量.

討論此結果是有意義的.

(1)R1→R2=R時

此即為空球殼(二維)的轉動慣量;

(2)R1→0,R2=R時

即為實心球體的轉動慣量.(上述結果均與文獻[1]118頁表3-1相關內容吻合)

1.3 同心圓柱殼的轉動慣量

再舉一例:一圓柱殼勻質,內外半徑分別為R1和R2,圓柱長l.求對過質心且與底面平行的轉軸的轉動慣量. 在柱坐標系下(r,θ,z)可求得底半徑R,長l，質量m的圓柱體對過質心且與底面平行的轉軸的轉動慣量

(7)

依補償求和法,設兩同心圓柱體質量分別為m1和m2;半徑分別為R1和R2.對該定軸轉動慣量分別為I1和I2,并由式(7)得

(8)

其中

代入式(8)

(9)

因m=m2-m1,于是

代入式(9)得

(10)

即為圓柱殼對過質心且與底面平行的轉軸的轉動慣量.

容易驗證:

(1)對于空柱殼, R1→R2=R,有

(11)

(2)對于實心圓柱, R1→0,R2=R,有

(12)

2 補償求和法的數學表述及在工程力學上的應用

2.1 補償求和法的數學表述

通過以上分析和論證,我們可將普通物理學中的剛體轉動慣量組合定理加以改造.組合定理指出:剛體由n部分組成時,第i部分對定軸轉動慣量為Ii,則剛體對該定軸轉動慣量可以寫成

(13)

剛體轉動慣量的補償求和法則如下.

剛體由n部分組成時, 第i部分對定軸轉動慣量大小為Ii,正負取決于該部分自身,即如果該部分質量是實際存在的(real),則取“+”號;如果是虛構的(imaginary),則取“-”號.剛體對定軸轉動慣量可寫為

(14)

利用補償求和法則有時候可以很方便快捷求出某些復雜剛體對定軸的轉動慣量(特別是組合定理不能直接使用時), 下面僅舉一例作為此法之應用.

2.2 補償求和法在工程力學上的應用

有一模具,由柄(線密度為λ)和與柄相連的薄圓盤(面密度為σ)組成,柄長l,圓盤半徑R2,中心被挖去半徑R1的圓.且四周亦被對稱地挖去4個小正方形,邊長為a,其與小圓邊沿相距均為b, 如圖3所示.求模具對以O為心,且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量(圖中空白處均表示被挖空部分).

圖3 模具的定軸轉動

解析:分析得知,模具可看成由7個部分組成.即長為l的柄(m1),半徑為R2的大圓盤(m2),半徑為R1的小圓盤(m3),4個小正方形(m4,m5,m6,m7).(除前兩個部分,其余5部分全部為虛構的)設以上各部分對以O為心,且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量的大小分別為I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7.

根據補償求和法則,模具對同一轉軸轉動慣量I滿足

(15)

利用剛體定軸轉動的平行軸定理易得

I6=I7=

故模具對過O點且垂直于圓盤面的轉軸的轉動慣量為

1 程守洙,江之永.普通物理學.(第6版).北京：高等教育出版社，2006.118

The General Solution on Fixed Axis Moment Inertia of Rigid Body by Compensation Method

Feng Jindi

(Science and Technical Department, Xinyang Normal University Huarui College,Xinyang,Henan 464000)

We obtain a new conclusion about solution of moment of inertia about a fixed axis by guess and proof in this article, from the conclusion the combination theorem of moment of inertia is generalized. It will be specially useful when we frequently confront solving moment of inertia of some complicated-shaped rigid body on engineering mechanics. In the end we solve a problem for example by this conclusion to show its advantage of simpleness, convenience and speciality.

moment inertia; principle of superposition; compensation summation method

馮金地 (1984- ) ,男,碩士, 講師, 從事大學物理、理論力學，量子力學等課程的教學和納米磁性材料的研究工作.

2015-12-17)