混合分布下帶干擾的多險(xiǎn)種負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型*

閉盟華，方世祖，覃利華

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

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混合分布下帶干擾的多險(xiǎn)種負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型*

閉盟華，方世祖，覃利華

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

考慮混合分布的帶干擾多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)理論及隨機(jī)過(guò)程理論的知識(shí)得到該模型的盈利過(guò)程的期望、方差、矩母函數(shù)、獨(dú)立平穩(wěn)增量性、調(diào)節(jié)系數(shù)以及用鞅方法得到該模型的最終破產(chǎn)概率及其破產(chǎn)概率滿(mǎn)足的Lundberg不等式.

混合分布；負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型；盈利過(guò)程；最終破產(chǎn)概率；矩母函數(shù);調(diào)節(jié)系數(shù)；鞅; Lundberg不等式

針對(duì)近年保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的蓬勃發(fā)展，保險(xiǎn)品種越發(fā)多樣化，同時(shí)公司的經(jīng)營(yíng)還受到其他不確定因素的影響，傳統(tǒng)經(jīng)典的負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型[1-3]已經(jīng)不能滿(mǎn)足現(xiàn)實(shí)的需求，之前帶干擾的單或雙險(xiǎn)種的負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型[4-10]日益受到學(xué)者的重視研究及推廣.為了更加貼近實(shí)際,文章在總結(jié)現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)現(xiàn)實(shí)中保險(xiǎn)公司各種壽險(xiǎn)理財(cái)產(chǎn)品的“理賠”次數(shù)過(guò)程的期望與方差的三種大小關(guān)系，繼續(xù)討論一類(lèi)混合分布下帶干擾的多險(xiǎn)種負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型，其中混合分布為一險(xiǎn)種的“理賠”次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布，另一險(xiǎn)種的“理賠”次數(shù)服從二項(xiàng)分布,第三個(gè)險(xiǎn)種的“理賠”次數(shù)服從poisson分布;在此先給出二項(xiàng)隨機(jī)序列和負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)序列以poisson隨機(jī)過(guò)程的定義，接著再給出混合分布下帶干擾的多險(xiǎn)種負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型.

定義1 非負(fù)整數(shù)隨機(jī)序列{P(n),n=0,1,2,…}中，P(0)=0,且對(duì)于任意n1>n2,增量P(n1)-P(n2)服從參數(shù)為(n2-n1,p)的二項(xiàng)分布,則稱(chēng)序列{P(n),n=0,1,2,…}為二項(xiàng)隨機(jī)序列.其期望E(P(n))=npX,方差Var(P(n))=npxqY,矩母函數(shù)為MP(t)=(pXet+qX)n,且二項(xiàng)序列“理賠”次數(shù)過(guò)程的均值大于方差.

定義3 如果計(jì)數(shù)過(guò)程{R(t),t≥0}具有參數(shù)θ(θ>0)和獨(dú)立平穩(wěn)增量性,并且同時(shí)滿(mǎn)足R(0)=0和E[R(t)]=θt,則稱(chēng)其為poisson過(guò)程,poisson隨機(jī)序列的“理賠”次數(shù)過(guò)程的均值等于方差,其期望E(R(t))=θ,方差Var(R(t))=θ,矩母函數(shù)為MR(t)=exp[θ(et-1)].

下面給出混合分布帶干擾多險(xiǎn)種負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型：

(1)

其中

2)保險(xiǎn)公司單位時(shí)間支出為常數(shù)c>0;

3)i,j,k和n均取非負(fù)整數(shù);初始資本為常數(shù)u≥0;

4)零初值二項(xiàng)序列{P(n),n≥0}服從參數(shù)(n,pA)，{Q(n),n≥0}為服從參數(shù)(n,pB)的零初值負(fù)二項(xiàng)序列，{R(n),n≥0}是強(qiáng)度為θ的poisson過(guò)程;

5){Xi,i≥1},{Yj,j≥1},{Zk,k≥1}是獨(dú)立同分布的非負(fù)理賠額隨機(jī)序列，均值分別為η1、η2和η3，分布函數(shù)為F(x)、F(y)、F(z)，二階矩都存在.

6)隨機(jī)干擾項(xiàng)ε{T(n),n=1,2,3,…}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),代表不確定收益;

7)假定{P(n),n≥0}，{Q(n),n≥0}，{Xi,i≥1}，{Yj,j≥1}，{Zk,k≥1}，{T(n),n≥0}相互獨(dú)立;

注:上述負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型(1)在實(shí)際應(yīng)用中,可用Xi表示某地區(qū)青年人壽險(xiǎn)年金保險(xiǎn)的第i次“理賠”額,Yj表示某地區(qū)中年人壽險(xiǎn)年金保險(xiǎn)的第j次“理賠”額,Zk表示某地區(qū)老年人壽險(xiǎn)年金保險(xiǎn)的第k次“理賠”額.

引理 上述帶干擾負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的盈利過(guò)程{S(n),n≥0}具有以下性質(zhì):

1){S(n),n≥0}是獨(dú)立的平穩(wěn)增量過(guò)程,且S(n)→∞ a.s.(n→+∞);

2){S(n),n≥0}的期望、方差、矩母函數(shù)分別為：

其中Var[X]=δ1,Var(Y)=δ2,Var(Z)=δ3,qX=1-pX,qY=1-pY.

證明:1)先證明獨(dú)立性.對(duì)于任意的0≤n1≤n2≤n3≤…≤ns,0≤r≤s,

再證平穩(wěn)性.對(duì)給定的l≥1,

綜上可知，{S(n),n≥0}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程.

2)由隨機(jī)過(guò)程論相關(guān)知識(shí)及假定7)中的獨(dú)立性可知:

定理1 存在函數(shù)l(t)在盈利過(guò)程{S(n),n≥0}上滿(mǎn)足E[exp(-tS(n))]=exp(nl(t)).

證明:E[exp(-tS(n))]

定理2 在其定義區(qū)間(0,b)內(nèi)方程l(t)=0存在唯一正解t=R，R稱(chēng)為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明:觀察方程l(t)=0，

知MX(0)=1,MY(0)=1,MZ(0)=1,

此時(shí)方程(2)恒成立.即l(0)=0

(2)

現(xiàn)對(duì)函數(shù)l(t)對(duì)t求導(dǎo)，有

(3)

l″(t)

(4)

由(2)、(3)、(4)結(jié)合數(shù)學(xué)分析的函數(shù)相關(guān)性質(zhì)可知，函數(shù)l(t)在[0,+∞)上是下凸函數(shù)且存在唯一正解R,定理得證.

證明：關(guān)于F為鞅的證明可分3步:

1)顯然指數(shù)函數(shù)是F可測(cè)的,而U(t)是建立在完備的概率空間(Ω,F,P)上的F可測(cè)函數(shù),故復(fù)合函數(shù)G(t)=exp[-RU(t)]也F可測(cè).

2)E[G(t)]=E{exp[-RU(t)]}=exp(-Rt)E{exp[-RS(t)]} =exp(-Rt)<1<+∞,?t≥0.

3)對(duì)任意的0≤s

E[G(t)|Fs]=E[exp{-R[u+S(t)]}|FS] =E[exp{-R[u+S(t)+S(s)-S(s)]}|FS] =exp{-R[u+S(s)]}E[exp{-R[S(t)-S(s)]}|FS] =G(s)E[exp{-R[S(t)-S(s)]}|FS]=G(s)

綜上所述，由隨機(jī)過(guò)程論中連續(xù)參數(shù)鞅的定義可知{G(t);t≥0}關(guān)于F的鞅.

下面用兩種方法求帶干擾的混合分布多險(xiǎn)種負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率τ(u).

方法1:鞅方法

由定理3前部分關(guān)于G(t)為鞅的證明可知G(t)=e-RU(t)=G(0)e-RS(t)為非負(fù)鞅,由非負(fù)鞅收斂性定理知存在幾乎處處收斂的有限極限使得

取定t,由于破產(chǎn)時(shí)刻T為有界停時(shí)，則T∧t也為有界停時(shí),由鞅的可選抽樣定理知

E[G(T∧t)]=E[G(0)]=e-Ru,對(duì)e-Ru用全期望公式,有

e-Ru=E[G(T∧t)]=E[G(T∧t|T≤t)]P{T≤t}+E[G(T∧t)|T>t]P{T>t} =E[G(T)|T≤t]P{T≤t}+E[G(t)|T>t]P{T>t}.

又?m0,故G(m)=e-RU(m)<1<+∞,由Lebesgue控制收斂定理和單調(diào)收斂定理有,e-Ru=E[G(T<+∞)|T<+∞]P{T<+∞}+E[G(+∞)|T=+∞]P{T=+∞}

E[G(+∞)|T=+∞]P{T=+∞}=0,于是 e-Ru=E[G(T<+∞)|T<+∞]P{T<+∞}

又 τ(u)=P{T<+∞|U(0)=u}=P{T<+∞},G(T<+∞)=G(T)=e-RU(T)，所以有

E(U(n))=φ1n+u,Var(U(n))=φ2n

(5)

分別服從參數(shù)為(n-H,pX),(n-H,pY),(θ-H)n的二項(xiàng)分布,負(fù)二項(xiàng)分布,poisson分布,且

于是對(duì)任意n,t>0,

E[e-tU(H)]=E[e-tU(H)|H>n]P(H>n)+E[e-tU(H)|H≤n]P(H≤n)=H1+H2

(6)

Ω(n)>0,且易知U(n)>Ω(n).

將H1拆成兩項(xiàng)討論,即

H1=E[e-tU(H)|H>n]P(H>n)=E[e-tU(H)|H>n,U(n)>Ω(n)]P(H>n,U(n)>Ω(n))+E[e-tU(H)|H>n,0≤U(n)≤Ω(n)]P(H>n,0≤U(n)≤Ω(n))≤P(0≤U(n)≤Ω(n))+e-tΩ(n)

(7)

再由切比雪夫不等式，有

于是由夾逼定理及(7)式可知,

H1=E[e-tU(H)|H>n]P(H>n)→0,(n→+∞)

(8)

令t=調(diào)節(jié)系數(shù)R,則

E[e-RU(n)]=E[e-RU(H)|H>n]P(H>n)+E[e-RU(H)|H≤n]P(H≤n)

(9)

當(dāng)n充分大時(shí),(9)式右邊第二項(xiàng)可化為E[e-RU(H)|H<∞]P(H<∞)

即 E[e-RU(n)]=E[e-RU(H)|H>n]P(H>n)+E[e-RU(H)|H<∞]P(H<∞)

(10)

結(jié)合(8)式和(10)式及τ(u)=P{T<+∞|U(0)=u}=P{T<+∞}知，該風(fēng)險(xiǎn)模型的最終破產(chǎn)概率為:

推論 注意到U(H)<0,R>0,于是

故τ(u)≤e-Ru,?u≥0.

即混合分布下帶干擾的多險(xiǎn)種負(fù)風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率滿(mǎn)足

Lundberg不等式τ(u)≤e-Ru,?u≥0，證畢.

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[責(zé)任編輯 蘇 琴] [責(zé)任校對(duì) 黃祖賓]

A Negative Risk Model Perturbed by Diffusion with Mixed Distribution

BI Meng-hua,FANG Shi-zu,QIN Li-hua

(SchoolofMathematicsandInformationSciences,GuangxiUniversity,Nanning530004,China)

In this paper,we consider the distribution of the hybrid multiple risk model with interference,risk theory and random process theory knowledge get the expectation and variance of the process model of profit,the moment generating function,smooth independent incremental,adjustment coefficient and the ultimate ruin probability of the model and meet the Lundberg inequality.

Mixed distribution; Negative risk model; Earnings process; The final bankruptcy probability; Moment generating function ;The adjusting coefficient; martingale; Lundberg inequality

2016-03-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71462002)；廣西教育廳科研項(xiàng)目(201010LX004).

閉盟華(1984-),男,廣西南寧人,廣西大學(xué)在校研究生,研究方向：隨機(jī)過(guò)程在風(fēng)險(xiǎn)理論中的應(yīng)用.

方世祖(1964-),男，廣西武鳴人，廣西大學(xué)碩士生導(dǎo)師，研究方向：隨機(jī)過(guò)程在風(fēng)險(xiǎn)理論中的應(yīng)用.

O211.67

A

1673-8462(2016)03-0059-06