LuGre摩擦模型的質(zhì)體-彈簧-帶自振系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

李加勝,李小彭,安鐮錘,聞邦椿

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 沈陽 110819)

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LuGre摩擦模型的質(zhì)體-彈簧-帶自振系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

李加勝,李小彭,安鐮錘,聞邦椿

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 沈陽 110819)

為了能夠深入研究摩擦自振系統(tǒng)的振動(dòng)-摩擦耦合動(dòng)力學(xué)特性,建立基于LuGre摩擦模型的質(zhì)體-彈簧-帶摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型,使用數(shù)值仿真等技術(shù)探討了摩擦導(dǎo)向系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,并分析了該自振系統(tǒng)的穩(wěn)定性.結(jié)果表明:摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)隨著進(jìn)給速度的不同取值而發(fā)生變化.從仿真圖可以看出,系統(tǒng)在不同進(jìn)給速度下的行為是不一樣的.系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式分別為:混沌運(yùn)動(dòng)、粘滑運(yùn)動(dòng)、純滑動(dòng)振動(dòng)和穩(wěn)定運(yùn)動(dòng),不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間存在一個(gè)臨界值,在臨界值附近運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化.此外,該模型的自激振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為中含有隨機(jī)性的混沌振動(dòng)現(xiàn)象,基于LuGre摩擦模型可以預(yù)測出比Stribeck摩擦模型速度更低時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為.

LuGre 摩擦模型; 非線性動(dòng)力學(xué); 系統(tǒng)穩(wěn)定性; 自激振動(dòng); 混沌振動(dòng)

LIJia-sheng,LI Xiao-peng,AN Lian-chui,WEN Bang-chun

(School of Mechanical Engineering &Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China).

摩擦的存在往往會(huì)使零部件產(chǎn)生嚴(yán)重磨損,引起噪聲和振動(dòng),降低機(jī)械系統(tǒng)的精度和運(yùn)轉(zhuǎn)效率[1].隨著機(jī)械工業(yè)的發(fā)展以及新的摩擦模型的不斷發(fā)展變化,國內(nèi)外學(xué)者從不同角度對(duì)摩擦引起的振動(dòng)問題展開了廣泛的研究.李小彭[2]等從微觀角度來研究了平面結(jié)合面的摩擦對(duì)振動(dòng)的影響.通過建立含有摩擦的分形模型,研究幾個(gè)參數(shù)對(duì)法向接觸阻尼的影響,為結(jié)合面動(dòng)力學(xué)的建模和特性分析奠定了基礎(chǔ).GDANIEC[3]等通過采用LuGre模型對(duì)單自由度的摩擦振子進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同的摩擦系數(shù)和進(jìn)給速度會(huì)產(chǎn)生摩擦誘發(fā)振動(dòng)中的分岔和混沌現(xiàn)象,而且大部分運(yùn)動(dòng)都為混沌運(yùn)動(dòng).MADELEINE[4]研究了一個(gè)兩自由度的質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)在受到間歇加載時(shí)的摩擦激振現(xiàn)象.HARTOGT D[5]提出了一種近似的理想干摩擦模型,得到了兩次黏滯的對(duì)稱形式周期振動(dòng)的封閉解.SHAW[6]將HARTOGT D的摩擦模型擴(kuò)展為非定常摩擦系數(shù)進(jìn)行研究,得到了觀察非對(duì)稱響應(yīng)的分岔判據(jù).OESTREICH[7]等研究了基于庫侖摩擦模型的單自由度振蕩器的分岔和穩(wěn)定性特性.ELMER[8]通過研究無阻尼和不同摩擦函數(shù)時(shí)質(zhì)量塊-帶的黏滑和純滑動(dòng)振動(dòng),提出了黏滑和純滑動(dòng)振動(dòng)之間相互轉(zhuǎn)換的表達(dá)式,得到了典型的局部和全局的分岔圖.但是目前摩擦自激振動(dòng)機(jī)理沒有獲得深入的研究,因此本研究旨在對(duì)含有摩擦的進(jìn)給振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析,以典型的機(jī)床切削系統(tǒng)和進(jìn)給系統(tǒng)為研究對(duì)象,通過建立典型的動(dòng)摩擦力模型,來進(jìn)行摩擦和振動(dòng)相互作用的研究以及自激振動(dòng)的研究.通過對(duì)系統(tǒng)建立二維的動(dòng)力學(xué)模型,使用數(shù)值仿真等技術(shù)探討了摩擦導(dǎo)向系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.本研究對(duì)于促進(jìn)摩擦動(dòng)力學(xué)的發(fā)展,研究和解決由于摩擦而產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)問題具有重要的價(jià)值.

1 摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)模型的建立

由于狀態(tài)參數(shù)的變化與系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度、摩擦因素、法向振動(dòng)有直接的密切的關(guān)系,所以用基于這種關(guān)系建立的模型對(duì)機(jī)床系統(tǒng)進(jìn)行研究,建立如圖1所示的系統(tǒng)物理模型.

圖1 質(zhì)量-彈簧-帶的自激振動(dòng)系統(tǒng)模型

質(zhì)量塊-彈簧-帶自激振動(dòng)系統(tǒng)模型常用于分析機(jī)械進(jìn)給系統(tǒng)的黏滑運(yùn)動(dòng).質(zhì)量塊A位于以恒速v0運(yùn)行的傳動(dòng)帶上,和阻尼系數(shù)為c的阻尼器和固定端剛度為k的彈簧連接,質(zhì)量塊和帶間的摩擦力F為質(zhì)量塊提供驅(qū)動(dòng)力.圖中F1表示質(zhì)量塊的法向力,ω為頻率,t為時(shí)間.

2 摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的解析分析

2.1 摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的建模

摩擦自激振動(dòng)模型采用圖1所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,摩擦力采用LuGre摩擦模型,可得:

(1)

式中:m為被驅(qū)動(dòng)件A的質(zhì)量;x為位移量.

將式(1)中的量無量綱化,則式(1)變?yōu)?/p>

(2)

2.2 LuGre摩擦力穩(wěn)定性分析

(3)

式中:σ0為變形剛性系數(shù);Fc為庫倫摩擦力;Fs為最大靜摩擦力;e為常數(shù)2.718;vs為邊界潤滑摩擦臨界速度.

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí),摩擦力可以表示為速度的關(guān)系式:

F=σ0g(v)+σ2v=Fc+

(4)

式中:σ2為粘性摩擦系數(shù).

公式(4)的偏微分方程為

(5)

當(dāng)v0足夠大或者足夠小時(shí),式(5)中的第一項(xiàng)相對(duì)于第二項(xiàng)很小.因此,v0必然存在臨界值v′0.摩擦力隨相對(duì)速度的關(guān)系如圖2所示.從圖2可以看出,當(dāng)0

圖2 摩擦力隨相對(duì)速度變化的曲線圖

通過求解方程,運(yùn)用迭代算法,可以得出v′0≈3vs.

3 摩擦系統(tǒng)的數(shù)值仿真分析

不同的參數(shù)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)有一定的影響.現(xiàn)在通過改變進(jìn)給速度來進(jìn)行設(shè)定系統(tǒng)剛度下的仿真[9-10].工具為MATLAB,方法為ode23s,相對(duì)誤差設(shè)置為1×10-7.當(dāng)系統(tǒng)剛度k=15 000 N·m時(shí),摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的仿真結(jié)果如下:

圖3 v0=0.000 3 m·s-1時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性圖

圖4 v0=0.000 4 m·s-1時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性圖

圖5 v0=0.001 m·s-1時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性圖

圖6 v0=0.01 m·s-1時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性圖

圖7 v0=0.1 m·s-1時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性圖

(1) 從相圖、時(shí)域曲線圖和Poincare截面圖可以看出,當(dāng)v0=0.000 3 m·s-1時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)為混沌運(yùn)動(dòng);而當(dāng)v0=0.000 4 m·s-1時(shí),系統(tǒng)相圖軌跡為典型的馬蹄形軌跡.當(dāng)v0=0.001 m·s-1時(shí),系統(tǒng)相圖軌跡仍然為典型的馬蹄形軌跡,不過此時(shí)位移和速度幅值均減小了,而周期卻開始逐漸增大.當(dāng)v0=0.01 m·s-1時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為典型的黏滑自激振動(dòng);當(dāng)速度繼續(xù)增大時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)開始穩(wěn)定在穩(wěn)定點(diǎn)附近,此時(shí)不再有周期振動(dòng),系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài).

這說明存在3個(gè)臨界值,這個(gè)3個(gè)臨界值將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分成了4種不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài):當(dāng)v0小于最小值(v0≈3vs)時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng),軌跡為馬蹄形軌跡,這實(shí)際上就是周期運(yùn)動(dòng)和混沌的分界標(biāo)志;當(dāng)v0大于中間值而小于最大臨界值時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為黏滑的自激振動(dòng),并且隨著速度的增加,振動(dòng)幅值也隨之增加;當(dāng)v0大于最大臨界值時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)開始穩(wěn)定在平衡點(diǎn)附近,處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)不再有周期運(yùn)動(dòng).

(2) 從摩擦力和鬃毛剛度隨時(shí)間變化的圖可以看出,當(dāng)摩擦力一直增加到大于庫侖摩擦力時(shí),摩擦力在庫侖摩擦力附近開始呈現(xiàn)一定規(guī)律的周期性變化趨勢.此外,不管進(jìn)給速度如何變化,摩擦力和鬃毛剛度的變化趨勢基本都是一致的,并且后者和前者總是呈現(xiàn)一定的正比例關(guān)系;且隨著相對(duì)速度的增加,動(dòng)態(tài)摩擦力的的變化幅度逐漸變小,最后趨向于零.

4 小結(jié)

(1) 本研究討論了穩(wěn)定狀態(tài)下的摩擦力,得到了摩擦力變化趨勢改變時(shí)的臨界速度,此時(shí),摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)隨著進(jìn)給速度的不同取值而發(fā)生變化.

(2) 運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)值仿真,從仿真圖看出來系統(tǒng)在不同進(jìn)給速度下的行為是不一樣,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式分別為:混沌運(yùn)動(dòng)、黏滑運(yùn)動(dòng)、純滑動(dòng)振動(dòng)和穩(wěn)定運(yùn)動(dòng),不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間存在一個(gè)臨界值,在臨界值附近運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化.

(3) 此外,和基于Stribeck摩擦模型自激振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果[11]不一樣的是,基于LuGre模型的自激振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為中含有隨機(jī)性的混沌振動(dòng)現(xiàn)象.并且可以看出,基于LuGre摩擦模型可以預(yù)測出比Stribeck摩擦模型速度更低時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為.最后,可以得出對(duì)于不同的摩擦模型,對(duì)于不同的進(jìn)給速度,系統(tǒng)響應(yīng)各不相同.

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Stability analysis on mass-spring-belt self-excited vibration systems via LuGre frictional model

To further elaborate the vibration-friction coupling dynamical properties on self-excited vibration systems,the nonlinear dynamic model of mass-spring-belt friction self-excited vibration system is established based on the LuGre friction model.By using the numerical simulation for friction-led dynamical behaviors,the self-excited vibration system stability is analyzed.It is found from results that the motional state varies with feeding speeds.Due that the system behaviors are differentiated with different feeding speeds,the motional forms comprise the chaotic motion,stick-slip motion,pure sliding vibration and stable motion with critical values between different motional states.In addition,the random chaotic vibration exists in dynamical behaviors.As such,this approach can predict the dynamical behaviors under lower speeds than Stribeck frictional model

LuGre frictional model; nonlinear dynamics; system stability; self-excited vibration; chaotic vibration; Stribeck frictional model

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275079)；遼寧省人才基金(2014921018)

李加勝(1991-),男,碩士.E-mail:neujsli@163.com

TH 113.1

A

1672-5581(2016)01-0012-05