“湊微分法”的教學研議

柳月鳳　吳全榮

“湊微分法”的教學研議

柳月鳳吳全榮

（漳州城市職業學院，福建漳州，363000）

湊微分法是積分法中常見的重要的方法，同時又是學生學習積分的一個難點。針對高職高專學生的數學基礎及困惑，通過講清算理，辦強學法指導；注重滲透“分析”“綜合”的思想方法；做好鋪墊、銜接、總結工作的方法，提高湊微分法的教學成效。

湊微分法；高職高專；教學策略

僅僅利用積分的基本性質和基本積分公式，只可解決一些較為簡單函數的積分問題。大多數函數的積分要通過適當的積分變換，如換元法和分部積分法來加以解決，其中第一類換元積分法即湊微分法是積分法中常見的重要方法，同時又是學生學習積分的一個難點。為解決這一難點，目前關于湊微分法的討論，有的側重湊微分法理論依據的剖析，有的側重湊微分式的總結。本文主要從學生學習湊微分法過程中存在的困惑入手，側重從數學思想方法的角度提出解決問題的策略，以幫助數學基礎薄弱的高職高專學生渡過這一難關，更好地掌握湊微分法。

一、湊微分法的步驟

命題（第一類換元積分法）：

設∫f(u)du=F(u)+C，且u=φ(x)可微，則

可見，一階微分形式的不變性和復合函數的求導法則是第一類換元積分法的根本和基礎。

在應用第一類換元積分法時，如果被積函數表達式已經直觀地呈現為f[φ(x)]φ'(x)dx的形式，那就沒有所謂的難點之說。但多數積分并非如此。如積分

此積分不在基本積分表里，如果把被積函數按多項式展開進行積分，非常麻煩。如果用第一類換元積分法來求解，那就簡單多了。但它的被積函數表達式(2x+1)5dx并沒有直觀地告訴我們函數φ(x)是什么，這需要我們引導學生去觀察、去發現，這就是它的難點所在。所以，我們可以把需要用第一類換元積分法解答的題目的解題步驟表達為：

從上述步驟我們可以看出，第一步的觀察很重要，這里要進行函數的變換，由對應法則g變換成對應法則f。因此，必須根據被積函數g(x)的特點，將g(x)dx湊成f[φ(x)]φ'(x)dx，這是關鍵所在，即將g(x)dx表示成g(x)dx=f[φ(x)]dφ(x)，從而將積分∫g(x)dx轉化成∫f(u)du。如果它是基本積分公式中已有的形式或其線性組合，則也就可以求出積分∫g(x)dx，所以第一類換元積分法又貼切地稱為湊微分法。

二、學生存在的困惑

根據多年的教學經驗，結合學生的學習反饋情況，我們發現學生在學習湊微分法時主要存在以下困惑：

第一，為什么要“湊”，也即如何判斷此積分應該用湊微分法來求解？

第二，如何尋求中間變量u=φ(x)？

第三，中間變量u=φ(x)找到后，如何湊？dx與dφ(x)之間的關系如何？

如以下是學生作業的錯誤解法：

那么，我們如何幫助學生降低湊微分法的思維難度，解決以上困惑？筆者結合自身教學經驗，認為可以從以下幾個方面對學生加以引導。

三、解決策略

（一）講清算理，加強學法指導

由命題可知，湊微分法主要用于被積函數是復合函數（或含一個因式為“復合函數”），事實上，在g(x)=f[φ(x)]φ'(x)中，f[φ(x)]是以φ(x)為內函數的復合函數。所以，在需要用到湊微分的題型中，被積函數g(x)本身往往要么是復合函數，要么因式中部分是復合函數。為了解決學生的第一個困惑，我們可以用∫cos3xdx導入新課，其中g(x)=cos3x本身就是復合函數。

又如（1）中，被積函數g(x)=（2x+1）5本身也是復合函數；積分中，被積函數是由因式1x與（1+1n3x）的乘積構成，后者（1+1n3x）就是以1nx為內函數的復合函數。

在此基礎上，注意觀察g(x)分離出f[φ(x)]外，還要將剩余部分因式與dx湊成中間變量φ(x)的微分式φ'(x)dx，即dφ(x)。如果可以，則湊微分告成。如（1）中，由于被積函數g(x)=(2x+1)5本身是復合函數，(2x+1)是內函數，而(2x+1)'dx=2dx，所以dx=(2x+1)'dx=d(2x+1)，因此∫(2x+1)5dx=∫(2x+1)5(2x+1)'dx=∫(2x+1)5d(2x+1)。

而對于（2），因式（1+1n3x）是以1nx為內函數的復合函數，剩余部分因式與dx的乘積dx=(1nx)'dx=d1nx，所以

當然，在湊微分法中，被積函數g(x)并不僅僅局限于以上兩大基本類型，如等。只是針對高職高專的學生而言，以上那兩大基本類型是必須也是應該在練習的基礎上熟練掌握的。

（二）注重滲透“分析”“綜合”的思想方法

為解決學生的第二個和第三個困惑，在湊微分法教學過程中，還要不斷滲透“分析”“綜合”的思想方法。如何找出中間變量φ(x)，中間變量φ(x)確定后怎么辦？這可以通過例題引導學生分析、歸納出“比對公式抓大頭，湊好微分保平衡”。“比對公式抓大頭”是指先通過分析，把被積函數或其部分與基本積分公式中的被積函數進行比對，將復雜的被積函數往基本積分公式中的簡單被積函數靠攏，以便于尋找換元的目標函數u=φ(x)；“湊好微分保平衡”是指φ(x)確定后，進一步尋找dx與dφ(x)之間的關系，從而用綜合法湊成基本積分公式。下面用兩個例子說明。

例1：求∫e-2xdx

分析：我們通過與基本積分公式比對，考慮往∫eudx轉化，此時換元的目標函數u=-2x，得du=d(-2x)=(-2x)'dx=-2dx，即dx=-du=-d(-2x)，從而求出不定積分。得解：

教學中，我們還應引導學生緊扣“比對公式抓大頭，湊好微分保平衡”，防錯、糾錯。

（三）做好鋪墊、銜接、總結工作

由于湊微分法既要分析，又要綜合，湊微分法中的“湊”所涉及的思維是逆向思維，這就要求學生熟練掌握導數公式、微分公式、積分公式等基本公式。我們可以嘗試從以下幾個方面來分散解決這一難點。

1.講解微分時做好前期的鋪墊工作

在學習微分時，我們要有意識地為后面的知識點——湊微分做好鋪墊，多出一些諸如dx= ()d(3x)、dx=()d(3-2x)、cos xdx=()d sin x、cosdx=()d sin、xdx=()d(3x2+1)、dx=d()、dx=d()dx=d()=()d()此類的填空題讓學生練習，既起到鞏固微分概念的作用，又為后面提煉常用的湊微分式埋下伏筆。

2.講解湊微分時做好新舊知識的銜接工作

在學習新知湊微分時，我們要引導學生反復回顧導數、微分、積分的基本公式，做好新舊知識的銜接。

如上面例2，有些學生能感知應該用1+x2來湊微分，但對xdx與d(1+x2)之間的關系又有點模糊，這時我們應及時引導學生回顧前面的導數及微分基本公式：(1+x2)'=2x、d(1+x2)=(1+x2)' dx=2xdx，理清二者之間的關系，從而得出：xdx=d(1+x2)，以使學生能夠順暢地解答。

3.歸納基本題型，總結常見的湊微分式

為使學生更好掌握湊微分法，我們可以引導學生通過不完全歸納法歸納出以下常見的湊微分式：（設∫f(u)du=F(u)+C）

如通過以下填空：dx=()d(3x)、dx=() d(3-2x)、dx=()d(x+7)及相應的積分求解：∫e3xdx、∫(3-2x)10dx、∫sin(x+7)dx，試探著讓學生總結出常見的湊微分式（1），以期在求解類似題目如∫時能快速求解：

當我們比較熟練掌握湊微分法時，可利用整體變換的思想，把中間變量看作一個整體，這樣設中間變量的過程可以省略，使整個解題過程顯得更加簡練。如上例：

四、總結

以上幾種策略并不是互相割裂的，它們都緊緊圍繞湊微分法解題的關鍵：如何找出目標函數u=φ(x)，湊出dφ(x)，只是我們針對不同基礎的學生、從不同的側面提出問題的解決策略。

“要創新，需學問，只學答，非學問，問愈透，創更新”，這是諾貝爾物理學獎獲得者、中國科學院外籍院士、美籍華裔物理學家李政道先生給學生們的建議。在這里，我們借用這一句話，期待我們的學生能夠做到不恥下問，在一定練習的基礎上找到適合自己的學習方法，并加以研究、歸納、總結，循序漸進地掌握它的變換技巧。

同時，也期望我們老師在進行不定積分湊微分法教學時，能夠適當放慢教學速度，盡量讓學生達到融會貫通，以便熟練掌握湊微分法。這樣到了學習不定積分分部積分法、定積分換元法及分部積分法時，學生就能做到輕車熟路，快速解決問題。

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[責任編輯：陳曉蔚]

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1008-7346（2016）01-0089-04

2015-11-02

柳月鳳，女，福建云霄人，漳州城市職業學院教師教育系講師；

吳全榮，男，福建云霄人，漳州城市職業學院教師教育系副教授。