應用主動控制實現R?ssler系統與Sprott-O系統的反同步

陳毅文

應用主動控制實現R?ssler系統與Sprott-O系統的反同步

陳毅文

（福建廣播電視大學漳州分校，福建漳州，363000）

應用主動控制方法研究不同混沌系統之間的反同步，并用這個方法實現了Rossle系統和Sprott-O系統之間的混沌反同步，最后通過數值仿真進一步驗證這種控制方法的有效性。

反同步；混沌系統；主動控制

一、引言

混沌是一種貌似無規則的運動，指在確定性非線性系統中，不需要附加任何隨機因素亦可出現類似隨機的行為（內在隨機性）。其本質是系統的長期行為對初始條件的極端敏感性。混沌的發現，可以追溯到十九世紀末龐加萊在研究三體問題時遇到的混沌問題。從實際問題的研究中，已發現很多混沌系統，如著名的Lorenz系統、Chua電路、R?ssler系統、Chen系統等。[1，2]

混沌同步是指兩個混沌系統通過相互耦合或外力驅動，在某些隨時間變化的特性上實現關聯或者出現相同的行為。由于混沌系統的初值敏感性，混沌同步很長時間以來被認為是不可能實現的，直到1990年美國海軍研究實驗室的Pecora和Carroll首次從理論和實驗證實混沌系統的同步是可實現的。[3]之后，混沌同步的研究得到廣泛的關注，已成為非線性科學研究的熱點之一，其應用范圍也已遍及自然科學的各個領域，如物理學、電子學、化學、生物學、信息安全學和經濟學等學科領域。

混沌同步的控制方法常用的有：線性反饋控制、替代變量控制、滑膜控制、非線性反饋控制、自適應控制和主動控制等。其中，主動控制方法由于其簡單實用得到很多學者的關注，如Vincent應用主動控制研究Loren-Stenflo系統與四維Qi系統達到同步，以及Loren-Stenflo系統和Qi系統之間的同步。[4]Idowu等人也應用主動控制方法實現參數激勵的兩個不同混沌系統的同步。[5]

混沌同步的方式根據其狀態變量的關聯方式主要包括完全同步、反同步、投影同步、相位同步、滯后同步等。反同步是指達到同步的兩個混沌系統的狀態變量的絕對值相同但符號相反。由于混沌系統的反同步和減震等工程問題密切相關，同樣引起很多學者的興趣，如Song和Cao推導出混沌系統完全同步和反同步的一些充分條件，改進了已有的結果，[6]Hu等人應用自適應控制實現Chua混沌系統的反同步。[7]

不同系統之間的混沌反同步有其研究的價值。在本文中，我們應用主動控制設計合適的控制函數，實現不同結構的R?ssler系統和Sprott-O系統之間的混沌反同步，并用數值仿真驗證該控制方法的有效性。

二、使用主動控制實現系統反同步

考慮用R?ssler系統[2]作為驅動系統，Sprott-O系統[8]作為響應系統，則驅動-響應系統反同步框架可以構造為

驅動系統

響應系統

其中u1，u2，u3是控制函數。定義誤差變量為

由系統（2）和系統（1）可以得到誤差系統為

控制函數u1，u2，u3可設為

因此，誤差系統可以簡化為

控制輸入函數v1、v2和v3是e1、e2和e3的函數，取

如果取

那么誤差系統（5）的特征值為-1、-1、-1，于是當t→∞時，狀態誤差e1、e2、e3，均收斂于0。因此，實現了R?ssler系統和Sprott-O系統之間的反同步。

三、數值仿真

（一）數值仿真1

取R?ssler系統的參數為：a=0.389，b=2，c=4時系統是混沌狀態，Sprott-0系統是典型的三階自治系統。驅動系統和響應系統的初值分別任取

相應的，誤差系統（3）的初始狀態為：

數值仿真結果如圖1所示。

圖1（a）顯示信號x1和x2之間的反同步，圖1（b）顯示信號y1和y2之間的反同步，圖1（c）顯示信號z1和z2之間的反同步。為了顯示系統的反同步誤差，我們定義誤差隨時間演變的過程如圖1（d）所示。從仿真模擬中我們可以看出，在t=5的時候驅動系統開始沿著一個相反的方向實現與主動系統的反同步，在t=9時R?ssler系統和Sprott-O系統之間就實現了反同步。

（二）數值仿真2

取R?ssler系統的參數為：a=0.389，b=2，c=4時系統是混沌狀態，Sprott-O系統是典型的三階自治系統。驅動系統和響應系統的初值分別任取x1（0）=1.5，y1（0）=2.5，z1（0）=3.5，和x2（0）=-11.5，y2（0）=9.5，z2（0）=-12.5，相應的，誤差系統（3）的初始狀態為：e1（0）=-10，e2（0）= 12，e3（0）=-9。數值仿真結果如圖2所示。圖2（a）顯示信號x1和x2之間的反同步，圖2（b）顯示信號y1和y2之間的反同步，圖2（c）顯示信號z1和z2之間的反同步。誤差‖e(t)‖隨時間演變的過程如圖2（d）所示。從仿真模擬中我們可以看出t=5在的時候驅動系統開始沿著一個相反的方向實現與主動系統的反同步，在t=9時R?ssler系統和Sprott-O系統之間就實現了反同步。

四、結論

本文研究了不同混沌系統R?ssler系統和Sprott-O系統之間的反同步問題。應用主動控制方法，我們實現了這兩個不同混沌系統之間的反同步。R?ssler系統和Sprott-O系統之間的數值仿真驗證了這個控制方法是有效的。

[1]黃潤生，黃浩.混沌及其應用（第二版）[M].武漢：武漢大學出版社，2005.

[2]王興元.混沌系統的同步及在保密通信中的應用[M].北京：科學出版社，2012.

[3]L M Pecora，T L Carroll.Synchronization in chaotic systems[J].Physical Review Letters，1990，（64）:821-824.

[4]U E Vincent.Synchronization of identical and non-identical 4-D chaotic systems using active control[J].Chaos Solitons&Fractals，2008，（4）:1065-1075.

[5]B.A.Idowu，UE Vincent，AN Njah.Synchronization of chaos in non-identical parametrically excited systems[J]. Chaos Solitons&Fractals，2009，（5）:2322-2331.

[6]Q Song，J Cao.Synchronization and anti-synchronization for chaotic systems[J].Chaos Solitons&Fractals，2007，（3）: 929-939.

[7]JHu，S Chen，L Chen.Adaptive control for anti-synchronization of Chua's chaotic system[J].Physics Letters A，2005，（6）:455-460.

[8]Qiang Jia.Chaos control and synchronization of the Newton-Leipnik chaotic system[J].Chaos Solitons&Fractals，2008，（35）:814-824.

[責任編輯：陳曉蔚]

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1008-7346（2016）01-0085-04

2016-01-13

陳毅文，男，福建漳州人，福建廣播電視大學漳州分校辦公室主任，副教授。