基于分形的自然景物模擬及仿真

牛亞群

太原學(xué)院基礎(chǔ)部(太原 030032)

基于分形的自然景物模擬及仿真

牛亞群

太原學(xué)院基礎(chǔ)部(太原 030032)

介紹了分形理論的發(fā)展過程，闡述了迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)的基本原理。利用IFS隨機(jī)迭代算法，采用Matlab軟件仿真，較好的模擬了自然景物，驗(yàn)證了分形幾何理論。

分形理論；迭代函數(shù)系統(tǒng)；Matlab軟件仿真；自然景物模擬

分形理論是一種數(shù)學(xué)抽象，是自然界和社會(huì)的生活生產(chǎn)過程中的不完全規(guī)則事物高度概括。20世紀(jì)70年代，分形理論被首次提出，隨著周邊學(xué)科如計(jì)算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的成熟，已經(jīng)成為一門重要的新學(xué)科，在很多應(yīng)用領(lǐng)域得到很好的驗(yàn)證和推廣，成為當(dāng)今國(guó)際上許多學(xué)科的前沿研究課題之一。

分形理論在很多的基礎(chǔ)學(xué)科和交叉學(xué)科領(lǐng)域有了很重大的突破，對(duì)促進(jìn)整體科學(xué)技術(shù)的推進(jìn)和發(fā)展，促進(jìn)學(xué)科融合起著重要的作用。

隨著計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)的提升，分形理論很好的應(yīng)用到了計(jì)算機(jī)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的模擬，尤其在不規(guī)則事物模擬上有了很大的突破。過去很多受到計(jì)算機(jī)內(nèi)存、CPU和顯卡條件限制的分形理論實(shí)驗(yàn)隨著計(jì)算機(jī)軟硬件設(shè)備的不斷攀登和發(fā)展均得到了長(zhǎng)足進(jìn)展。因此，本文以自然景物模擬為切入點(diǎn)，開展分形理論的實(shí)驗(yàn)研究。

1 分形理論

1975年，美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot最先創(chuàng)用了分形理論。他通過這個(gè)詞來描述一大類復(fù)雜不規(guī)則的幾何對(duì)象。分形(fractal)一詞源于拉丁文fractus，本意是指“破碎的”、“產(chǎn)生不規(guī)則碎片”、“分?jǐn)?shù)”等。分形理論目前還沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，只能給出描述性的概念。粗略的說，分形是沒有明確特征標(biāo)度大自然本身描繪的曲線，其自相似性是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)抽象得來，并且，自相似性只存在于“無(wú)標(biāo)度區(qū)間”[1]。

1904年，VonKoch通過初等方法構(gòu)造了Von Koch曲線。該曲線的性質(zhì)的最主要特征是處處不可微，該曲線是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的人為構(gòu)造的局部與整體相似結(jié)構(gòu)的曲線[2]。

得到Von Koch曲線的步驟如下：

設(shè)B0是平面A上的單位線段，將B0三等分。利用中間的1/3線段做出正三角形，新生成其他兩個(gè)邊。此時(shí)得到一個(gè)由4個(gè)長(zhǎng)度為1/3的邊所組成的連續(xù)折線，稱此折線為B1，并稱B1是由B0繁衍生成的.

分別對(duì)B1的每一條邊都進(jìn)行步驟1定義的規(guī)則變化，變化完成后可以得到由42個(gè)長(zhǎng)度為1/32的邊組成的連續(xù)折線，記其為B2。

按照規(guī)則逐次迭代，可以從折線序列B0,B1,B2,...,Bn,得到有限精度的極限曲線，即為Von Koch曲線。

如下圖1所示即為Von Koch曲線的迭代過程。

圖1 逐步迭代的Von Koch曲線

2 線性IFS隨機(jī)迭代算法

迭代函數(shù)系統(tǒng)又稱為線性迭代表達(dá)式，函數(shù)系統(tǒng)中的每個(gè)迭代函數(shù)表達(dá)式都是線性的。在線性迭代函數(shù)的迭代中，采用如下的迭代算法：

(1)設(shè)定一個(gè)起始點(diǎn)(x0，y0)及總的迭代步數(shù);

(2)以概率pk(k=1,2,3,…,N)選取仿射變換Wk,Wk形式為:

(3)以Wk作用點(diǎn)(x0,y0),得到新坐標(biāo)(x1,y1);

(5)在屏幕上打出(x0,y0);

(6)重返第(2)步,進(jìn)行下一次的迭代,直到迭代次數(shù)大于總步數(shù)為止.

在迭代算法中,Wk(k=1,2,3,…,N)是一組收縮仿射變換,式(2)稱為線性IFS迭代表達(dá)式.

3 基于MATLAB的自然景物中樹的模擬

由于分形幾何的特點(diǎn)，使其理論在自然景物的模擬方面具有很好的模擬效果。云、山、水、樹等自然景物通過計(jì)算機(jī)程序能夠較好的模擬，見圖2所示。

圖2 樹的模擬

通過對(duì)自然景物模擬問題算法的分析和求解,利用MATLAB矩陣工具中的模型語(yǔ)言算法去解決自然景物模擬過程中中的模擬和收斂問題[3]。MATLAB矩陣工具作為通用計(jì)算和模型求解的的良好平臺(tái)，有著強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算能力和豐富的編程接口，對(duì)自然景物模擬求解問題有著很好的解決手段，對(duì)分形理論的應(yīng)用和改進(jìn)有著重要的科學(xué)價(jià)值。因此，MATLAB工具已經(jīng)在分形理論自然物仿真模擬領(lǐng)域中選擇為標(biāo)準(zhǔn)的問題求解軟件工具之一。

MATLAB是強(qiáng)大的矩陣工具，在自然景物模擬領(lǐng)域中的問題求解中有著廣泛的應(yīng)用，其特點(diǎn)是對(duì)復(fù)雜的模型問題可以很好的分解、輸入、分析和求解，程序執(zhí)行速度快。MATLAB矩陣生成器提供了模型庫(kù)，用戶只需要很好的建立問題模型的相關(guān)數(shù)值和約束條件，利用此工具的演算，就可以得到問題的最優(yōu)解。開發(fā)者只需通過建立的約束或目標(biāo)函數(shù)，鍵入相應(yīng)的數(shù)值，就可以對(duì)問題進(jìn)行求解。MATLAB矩陣工具作為通用計(jì)算和線性求解的的基礎(chǔ)平臺(tái)，工具有著強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算能力和豐富的編程接口，還提供了科學(xué)算法的開發(fā)語(yǔ)言-M語(yǔ)言。掌握MATLAB矩陣工具，使用其中的M語(yǔ)言是可以使較大規(guī)模問題的輸入過程和求解過程得到簡(jiǎn)化[4]。

利用MATLAB進(jìn)行模型算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)可以很好的對(duì)自然景物模擬問題進(jìn)行求解。優(yōu)化求解的過程，計(jì)算方法簡(jiǎn)單,避免了人工輸入大量的變量和約束條件,降低了時(shí)間復(fù)雜度，從而大大提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和程序執(zhí)行速度[5]。

模擬初始數(shù)據(jù)如表1所示。

由此可見，利用Matlab對(duì)自然景物進(jìn)行編程和分形模擬，具有一些優(yōu)勢(shì)。其條件設(shè)置簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，而且，在相同硬件設(shè)置條件下比其他的程序語(yǔ)言具有更好的收斂速度和更快的生成速度.

表1 模擬初始數(shù)據(jù)

4 結(jié)語(yǔ)

采用計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)自然景物進(jìn)行建模與仿真，可以在人類的生產(chǎn)生活中提供很多的便利，為物質(zhì)財(cái)富的增加和精神世界的豐富提供了更多的實(shí)現(xiàn)手段。對(duì)自然景觀進(jìn)行模擬，可以促進(jìn)一部分傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，特別是在互聯(lián)網(wǎng)服務(wù)提供商、醫(yī)療、旅游、教育和學(xué)習(xí)領(lǐng)域，自然景物模擬都能發(fā)揮重要的作用。因此，在基于分形的自然景物模擬和仿真在研究領(lǐng)域具有深入挖掘的價(jià)值。

通過分形理論相關(guān)文獻(xiàn)的研究和對(duì)迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)的基本原理的闡述解讀，采用IFS隨機(jī)迭代算法，利用Matlab軟件進(jìn)行編程和仿真,較好的模擬了自然景物中樹的構(gòu)造和圖像圖形，驗(yàn)證了分形幾何理論，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

[1]李彤,夏張莉,宿偉玲.求解丟番圖方程的模擬植物生長(zhǎng)算法[J].中國(guó)管理科學(xué).2012,(S1).

[2]唐衛(wèi)東,李金忠,劉昌鑫,胡雪華,李萍萍,盧章平.虛擬植物模型及其構(gòu)建方法研究綜述[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究.2012,(09).

[3]劉穎,羅岱,黃心淵.基于OSG的Speedtree植物模型繪制研究[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì).2012,(06).

(責(zé)任編輯：文婷)

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10.19469/j.cnki.1003-3319.2016.04.0013