縱向數(shù)據(jù)下工具變量線性回歸模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷

袁進(jìn)義，楊宜平

（1.重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院,重慶400030；2.重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶400067）

縱向數(shù)據(jù)下工具變量線性回歸模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷

袁進(jìn)義1，楊宜平2

（1.重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院,重慶400030；2.重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶400067）

文章考慮縱向數(shù)據(jù)下工具變量線性回歸模型，基于工具變量和二次推斷函數(shù)方法，提出了回歸參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比統(tǒng)計(jì)量。在一些正則條件下，證明了所提出的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比統(tǒng)計(jì)量漸近于標(biāo)準(zhǔn)卡方分布，由此構(gòu)造興趣參數(shù)的置信域。

縱向數(shù)據(jù)；工具變量；二次推斷函數(shù)；經(jīng)驗(yàn)似然；工作相關(guān)陣

0　引言

經(jīng)典線性回歸模型在研究響應(yīng)變量與解釋變量之間的關(guān)系時，往往假定解釋變量是外生變量。基于該假定，采用最小二乘法可以獲得回歸系數(shù)無偏的和相合的估計(jì)。但是在大多實(shí)際問題的研究中，尤其在社會、經(jīng)濟(jì)等許多領(lǐng)域解釋變量往往是內(nèi)生的。如Angrist和Krueger[1]在研究教育對收入的影響時，教育是一個內(nèi)生變量；Frankel和Romer[2]在考慮國際貿(mào)易對經(jīng)濟(jì)增長的影響時，國際貿(mào)易是一個內(nèi)生變量。工具變量的引入有效地解決了內(nèi)生解釋變量所帶來的問題。Angrist和Krueger[1]選擇“出生季節(jié)”作為教育年限的工具變量，對收入水平建立工具變量線性回歸模型來分析教育對收入的影響；Frankel和Romer[2]使用“地理因素”作為工具變量來解決國際貿(mào)易對經(jīng)濟(jì)增長的促進(jìn)作用所面臨的內(nèi)生解釋變量的問題。關(guān)于工具變量回歸模型的相關(guān)研究已有大量文獻(xiàn)。Basmann[3]提出了兩階段最小二乘法估計(jì)工具變量線性回歸模型中的回歸系數(shù)；Buse[4]研究了工具變量估計(jì)的偏差問題；Chamberlain和Imbens[5]討論了工具變量隨機(jī)效應(yīng)模型的估計(jì)問題；張衛(wèi)東[6]討論了線性模型中的測量誤差問題與工具變量方法；胡毅和王美今[7]提出了工具變量估計(jì)的最優(yōu)工具變量選取方法。

上述文獻(xiàn)都是在獨(dú)立數(shù)據(jù)下討論工具變量線性回歸模型的估計(jì)問題。在分析實(shí)際問題時，往往會遇到縱向數(shù)據(jù)。當(dāng)前，關(guān)于縱向數(shù)據(jù)下工具變量回歸模型的研究很少。因此，本文考慮如下縱向數(shù)據(jù)工具變量線性回歸模型：

其中Yij是響應(yīng)變量,Xij是p×1內(nèi)生變量，即E(Xijεij)≠0，β是p×1未知參數(shù)，Π為p×k維未知參數(shù)矩陣，εij為模型誤差，Zij是k×1工具變量，與解釋變量Xij相關(guān)，且與模型誤差εij不相關(guān)，即滿足

E(Zijεij)=0且E(Zijeij)=0，i=1，…n，j=1，…，ni

本文的目的是利用0wen[8]提出的經(jīng)驗(yàn)似然方法研究模型(1)中回歸參數(shù)β的置信域的估計(jì)問題。關(guān)于該方法的相關(guān)研究參見文獻(xiàn)[9-10]。為了處理模型中縱向數(shù)據(jù)的組內(nèi)相關(guān)性，我們提出了基于工具變量和二次推斷函數(shù)法的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比函數(shù)，并證明了所提出的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比函數(shù)漸近于標(biāo)準(zhǔn)卡方分布，進(jìn)而構(gòu)造回歸參數(shù)β的置信區(qū)間。本文方法的優(yōu)點(diǎn)在于：(1)利用二次推斷函數(shù)法處理縱向數(shù)據(jù)的組內(nèi)相關(guān)性，無需估計(jì)工作相關(guān)陣；(2)與傳統(tǒng)的正態(tài)逼近方法構(gòu)造置信區(qū)間相比，經(jīng)驗(yàn)似然方法具有其獨(dú)特的優(yōu)勢——不需要任何漸近方差的估計(jì)且區(qū)間估計(jì)的形狀完全由數(shù)據(jù)決定。

1　回歸參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然推斷

由于模型(2)中Xi是內(nèi)生變量，Zi是工具變量，則可以利用工具變量將內(nèi)生變量進(jìn)行分解。

由條件E(Zijeij)=0，結(jié)合模型(2)可得E(X|Z)=πZ。采用最小二乘法可得π的估計(jì)

因此，

采用Liang和Zerger[11]提出的廣義估計(jì)方程方法，可以構(gòu)造參數(shù)β的廣義估計(jì)方程：

其中Vi是工作相關(guān)陣。在實(shí)際應(yīng)用中Vi通常是未知的，且依賴有限維的討厭參數(shù)，即將Vi進(jìn)行分解成Vi=，其中Ai=diag(var(Yi1)，…，var(Yini))，R(ρ)是含討厭參數(shù)ρ的工作相關(guān)陣。為了避免錯誤估計(jì)討厭參數(shù)ρ對估計(jì)效的影響，利用Qu等[12]的思想，可將工作相關(guān)陣的逆R-1(ρ)表示為一些基矩陣的線性組合，即

其中ai(i=1，…，m)是未知的常數(shù)，Mi(i=1，…，m)是已知的基矩陣。一些常見的工作相關(guān)陣都可以由式(4)很好地逼近，具體參見文獻(xiàn)[11]。將式(4)代入式(3)，得到如下估計(jì)方程：

注意到估計(jì)方程(5)是輔助隨機(jī)向量式(6)中元素的線性組合。如果β是參數(shù)真值，經(jīng)簡單計(jì)算可得利用該信息，可以構(gòu)造回歸參數(shù)β的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比函數(shù)

由Lagrange乘子法，l(β)可表示為

其中λ是ps×1向量，且滿足

3　漸近性質(zhì)

我們討論經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比函數(shù)l(β)的漸近性質(zhì)。為了得到定理1,需給出一些正則條件。

C1：參數(shù)β定義域是Rp上的一個緊集，真值β0是其一個內(nèi)點(diǎn)。

C2:{} ni是有界的正整數(shù)列。

定理1：假定條件C1—C3成立，如果β是參數(shù)真值，則

基于定理1，可以構(gòu)造β的1-α(0＜α＜1)的置信域：

Rα(β)

為了證明定理1，需要下面引理。

引理1：假定條件C1—C3成立，如果β是參數(shù)真值，則

其中

其中Q2，s表示Q2的第s個分量。這就證得用Q3，s表示Q3的第s個分量，那么

定理1的證明：對l(β)進(jìn)行Taylor展開，可得

上式結(jié)合引理1可得定理1。

4　結(jié)束語

本文針對解釋變量是內(nèi)生變量的線性回歸模型，提出了基于工具變量的經(jīng)驗(yàn)似然推斷。在構(gòu)造輔助隨機(jī)向量時，為了消除縱向數(shù)據(jù)的組內(nèi)相關(guān)性，對工作相關(guān)陣采用一些已知的基矩陣來逼近，避免了工作相關(guān)陣中討厭參數(shù)的估計(jì)。進(jìn)一步，為了避免內(nèi)生變量對區(qū)間估計(jì)的影響，借鑒工具變量線性回歸模型中兩階段最小二乘估計(jì)的思想，引入工具變量，利用工具變量將解釋變量進(jìn)行分解。在一些正則條件下，證明了所提出的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然比函數(shù)漸近于標(biāo)準(zhǔn)卡方分布。

[1]Angrist JD,Krueger A B.DoesCompulsory School Attendance Affect Schooling and Earning?[J].Quarterly Journal of Economics,1991, (106).

[2]Frankel J,Romer D.Does Trade Cause Growth?[J].American Eco?nomic Review,1999,89(3).

[3]Basmann R L.A Generalized Classical Method of Linear Estimation ofCoefficients in a Structural Equation[J].Econometrica,1957,(25).

[4]Buse A.The Biasof Instrumental Variable Estimators[J].Econometri?ca,1992,(60).

[5]Chamberlain G,Imbens G.Random Effect Estimator With Many In?strumentalVariables[J].Econometrica,2004,72.

[6]張衛(wèi)東.線性模型中的測量誤差問題與工具變量方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2008,(8)

[7]胡毅，王美今.IV估計(jì)的最優(yōu)工具變量選取方法[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2011,(7)

[8]Owen A B.Empirical Likelihood Ratio Confidence Intervals for a Sin?gle Function[J].Biometrika,1988,75(2).

[9]Xue L G.Empirical Likelihood for Linear ModelsWith Missing Es?ponses[J].JournalofMultivariate Analysis,2009(100).

[10]Zhao P X,Xue L G.Empirical Likelihood Inferences for Semipara?metric Instrumental Variable Models[J].Journal of Applied Mathe?maticsand Computing,2013,(32).

[11]Liang K Y,Zeger SL.Longitudinal Data Analysis Using Generalized LinerModels[J].Biometrika,1986,(32).

[12]Qu A,Lindsay B G,Li B.Improving Generalized Estimating Equa?tionsUsingQuadratic Inference Functions[J].Biometrika,2000,(87).

（責(zé)任編輯/易永生）

0212.7

A

1002-6487（2016）19-0073-03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301569)；國家社會科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11CTJ004）；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目（cstc2015jcyjA00023）；重慶市教委科研項(xiàng)目(KJ1500614)

袁進(jìn)義(1982—),男，湖北咸寧人，博士研究生，研究方向：知識管理。楊宜平(1981—),女，湖北荊州人，副教授,研究方向：非參數(shù)統(tǒng)計(jì)。