帶有等相關誤差結構生長曲線模型的參數boo tstrap檢驗

徐禮文，瞿開毅

(1.中國人民大學統計學院，北京100872；2.北方工業大學理學院，北京100144)

帶有等相關誤差結構生長曲線模型的參數boo tstrap檢驗

徐禮文1,2，瞿開毅2

(1.中國人民大學統計學院，北京100872；2.北方工業大學理學院，北京100144)

文章研究了具有等相關誤差結構的生長曲線模型回歸系數的檢驗問題，構造了參數bootstrap(PB)檢驗統計量和相應的PB檢驗，并與已有的廣義p值(GP)檢驗進行了比較。模擬研究表明，PB方法和GP方法在單處理組情形下的表現趨于一致，均能很好的控制第一類錯誤率；在多處理組情形下，GP方法在一些情形下不能很好地控制犯第一類錯誤的概率，而PB方法則在很好地保證檢驗名義水平的前提下，同時也具有良好的勢表現。

生長曲線模型；重復觀測；bootstrap重抽樣；廣義p值

0　引言

生長曲線模型在生物學、醫藥學、社會經濟學、心理學等領域具有非常廣泛的應用，許多學者對該模型進行了大量研究[1-4]。由于生長曲線模型用于建模重復觀測的數據，且模型協方差矩陣因包含方差分量通常未知，傳統檢驗方法大多基于近似理論，難以得到精確檢驗。Weerahandi和Berger[5]提出運用廣義p值(GP)方法構造了具有誤差獨立結構的簡單生長曲線模型回歸系數的精確檢驗。Lin和Lee[6]進一步研究了等相關誤差結構的生長曲線模型回歸系數的廣義p值檢驗。其中文獻[5,6]所說精確性其實是指廣義p值的計算公式是有精確表達式的。但廣義p值和經典p值的定義卻有很大差異，有時無法保證經典p值檢驗的優良性。

大量的研究表明，bootstrap方法在檢驗問題中具有維持名義水平的優良性質，在許多情形下要優于GP方法[7-9]。而鮮有學者研究生長曲線模型回歸系數檢驗問題中兩種方法的優良性比較。因此本文針對回歸系數檢驗問題構造了參數bootstrap(PB)檢驗，并與GP方法進行比較研究。

1　單處理組生長曲線模型回歸系數的單邊檢驗

單處理情形生長曲線模型的一般形式為:

其中，Yit表示因變量在第i個體第t個時刻的觀測，Xt是協變量向量，β為相應的回歸系數，αi和εit分別表示個體隨機效應和隨機誤差項。其矩陣表達式為：

該協方差矩陣具有等相關結構。在該協方差陣結構下，可以證明回歸系數的廣義最小二乘估計和普通最小二乘估計是相同的[10]，也是此模型下最大似然估計。模型(2)的最小二乘估計為

1.1GP檢驗

(bk，ssw，ssb)表示的一組樣本觀測，TGP的樣本觀測值T0=bk-βk，與除檢驗參數外的其他討厭參數無關。因此，廣義p值可表示為：

1.3PB-S檢驗

2　多處理組生長曲線模型回歸系數的相等性檢驗

上文討論了只包含單個處理組時生長曲線模型回歸系數的檢驗問題，下面考慮包含多個處理組時生長曲線模型回歸系數的相等性檢驗，即H0:β1=…=βm.考慮的模型一般形式為：

αij和εijt分別為個體隨機效應和隨即干擾項。其矩陣形式為：

2.1廣義F(GF)檢驗

對于模型(8)，稱協方差矩陣Σi不相等的情形為異方差。模型的殘差平方和為其中

且有：

eij～N(0，IT).令為原假設下的標準化殘差平方和，為備擇假設下的標準化殘差平方和。對于檢驗H0:β1=…=βm的廣義檢驗變量為：

其中，

2.2PB-F檢驗

于是,PB-F檢驗統計量為:

3　隨機模擬研究

為了比較參數bootstrap方法與廣義p值方法在上述不同情形下的優良性，我們采用Monte Carlo方法進行模擬研究。具體地，分別模擬兩種檢驗方法對于檢驗問題的第一類錯誤概率和勢函數。為了便于模擬，對模型作如下假定

3.1單處理組回歸系數的模擬檢驗

考慮β2及線性組合β2+β3的單邊檢驗。設定回歸系數的真值為β=(10，2，1)′，模擬模型在不同樣本量n和不同組合情形下的第一類錯誤率和勢函數的表現。現給出單個β2的PB-S檢驗的p值算法如下：

內循環：l=1 to L；

(4)利用(6)式計算TBS.如果TBS＞T0，記countl=1;否則記為0；

結束內循環；

檢驗的勢可通過類似的算法得到。考慮到該模擬涉及到內外兩層循環，本文設定內循環和外循環的次數為(L，M)=(3000，2000)。計算過程是在SAS軟件環境下進行的。第一類錯誤概率和檢驗勢的模擬結果分別見表1和表2。

表1　單處理組情形下回歸系數的第一類錯誤概率的估計值

從表1的第一類錯誤率估計中可以看出，兩種方法在各種情形下都能很好的控制第一類錯誤概率；而從表2可以看出，兩種方法的檢驗勢表現基本一致。值得注意的是，在不同的組合情形下，兩種方法的檢驗勢差別較大。

表2　單處理組情形下回歸系數的檢驗勢的估計值

3.2多處理組的回歸系數的相等性檢驗模擬比較

對于含3個處理組的生長曲線模型，我們模擬比較GF和PB-FS三種方法在不同樣本組合和不同協方差矩陣情形下的第一類錯誤率和檢驗勢表現。PB-FS方法的p值算法如下：

循環：for i=1 to L;

(3)根據(13)式計算TPB-F,若TPB-F＞T0,記counti=1;否則記為0；

(4)即為p值的估計值；

與單處理組類似，假定回歸系數向量的真值為β1=β2=β3=(10，2，1)′，設定內循環和外循環的次數為(L，M)=(3000，2000).并且在檢驗勢的模擬中，為了便于比較，保持回歸系數向量βi的第一和第三分量不變，僅改變第二分量。檢驗的模擬結果如表3和表4。

從表3可看出，當樣本量非單調、三個處理組隨機誤差項的方差相差較大時，GF方法的第一類錯誤率顯著大于0.05，尤其當樣本量=(8，4，6)時，GF的第一類錯誤率達到0.08，表現出一定的隨意性；而PB方法在各種情形下均表現穩定。

表3　多處理組回歸系數相等性檢驗的第一類錯誤率估計

表4　多處理組回歸系數相等性檢驗勢估計

從表4可看出GF方法在樣本量非單調、三個處理組隨機誤差項的方差相差較大時，GF的檢驗勢顯著大于PF-F方法，其原因是此情形下具有較高的第一類錯誤率。在其他情形下，兩種方法的檢驗勢趨于一致。綜上分析，PB-F方法表現較為穩定，而GF方法在一些情形下表現過于自由。

4　結論

當考慮多個處理組的生長曲線模型回歸系數相等性比較時，廣義p值檢驗無法控制第一類錯誤的問題沒有受到足夠重視。本文從單處理組和多處理組兩方面分別比較了參數bootstrap方法(PB)和廣義p值方法(GP)在生長曲線模型回歸系數檢驗的功效表現。模擬結果表明，兩種方法在單處理組情形下的表現是較為一致的，均能很好的控制第一類錯誤率；而在多處理組情形下，當樣本量非單調、處理組隨機誤差項的方差相差較大時，GP方法無法保證名義水平，第一類錯誤率偏高，而PB方法在各種情形表現更加穩健，且具有良好勢的表現。

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（責任編輯/易永生）

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1002-6487（2016）19-0027-05

國家自然科學基金資助項目(11171002)；北京市屬高等學校高層次人才引進與培養計劃項目(CIT&TCD201404002)；北京市自然科學基金資助項目(9144026)

徐禮文(1977—)，男，安徽滁州人，博士，教授，研究方向：復雜數據分析。