“二次函數與一元二次方程”課堂實錄

■李長春

課堂實錄

“二次函數與一元二次方程”課堂實錄

■李長春

一、創設情境，發現問題

（課前，多媒體播放歌曲《隱形的翅膀》，不少學生跟著旋律哼唱）

師：李老師來自東臺市實驗中學，今天在時堰中學和大家一起交流、學習，我有一種特別親切的感覺，為什么這么說呢？

（大屏幕上顯示：東臺市時堰中學、東臺市實驗中學）

師：大家一起將兩個校名讀一遍。

（生齊讀）

師：哪位同學能發現其中的奧妙？

生1：“時堰”和“實驗”讀音相同。

師：對了！“時堰”和“實驗”讀音相同，用數學的眼光看，“時堰”和“實驗”讀音不僅相似，而且全等。難道這就是傳說中的“緣分”？

（聽課老師和學生均大笑，鼓掌）

師：我們剛剛學習了二次函數，請大家思考，在本學期所學的內容中，有哪個章節的內容和“二次函數”特別有“緣分”，聯系較密切？

生（齊）：一元二次方程！

師：下面和大家一起來學習第6章第3節“二次函數與一元二次方程”。

思考：通過兩校校名的讀音相同，引出課題“二次函數與一元二次方程”，不僅能拉近師生之間的距離，激發學生學習的興趣，還滲透了類比的數學思想，暗示著本節課探究的這兩個“二次”之間也有著很深的淵源。從教學反饋看，達到了教者預設的效果。

二、合作交流，探索問題

教學片段1：教師提出一個很具體的問題，請大家一起探究。

探究一：求二次函數y=x2-2x-3的圖像與x軸的公共點坐標。

師：請同學們畫出二次函數y=x2-2x-3的圖像，仔細觀察拋物線與x軸的公共點情況，它與一元二次方程x2-2x-3的兩個實數根之間有什么聯系呢？

生2：令y=0，可得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，所以二次函數y=x2-2x-3的圖像與x軸的公共點坐標是（-1，0）和（3，0）。

經過各位學生在準備好的網格紙上的畫圖（如圖1），得出結論：拋物線與x軸的公共點橫坐標為-1、3，即為一元二次方程x2-2x-3=0的兩個實數根。

圖1

思考：“探究一”從“函數值為0”著手，探索了二次函數與相應的一元二次方程之間的關系：①從函數關系式看，當二次函數y=x2-2x-3中的函數值y取特殊值0時即得到一元二次方程x2-2x-3=0；②從一元二次方程x2-2x-3=0的根的幾何意義看，一元二次方程x2-2x-3=0的兩實數根即為二次函數y=x2-2x-3的圖像與x軸的公共點的橫坐標，滲透了數形結合、從特殊到一般的數學思想方法，也體現了對立統一的辯證思想。

三、理性概括，構建新知

教學片段2：在教師指導下探究更一般的情形。

探究二：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根x1、x2，那么二次函數y= ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸有沒有公共點？如果有，有幾個公共點？說出公共點的坐標。

圖2

生3：有兩個公共點，坐標為A（x1，0）、B（x2，0）。

（注：如圖2，教師適時地把圖1中的A、B兩點的橫坐標換成圖2中的x1和x2，讓學生結合圖形進行歸納，既能體現數形結合的數學思想方法，又能體會到從特殊到一般的思維方式）

思考：學生經歷過“探究一”的特殊問題的探索，已經積累了一定的經驗，歸納出一般性的結論已經水到渠成。通過“探究二”，可將重點放在引導學生體驗從具體到抽象、從特殊到一般的思維方法上。

師：反過來，如果二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸有兩個公共點A（x1，0）、B（x2，0），那么，一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情況如何？

生4：有兩個不相等的實數根x=x1、x=x2。

師：對，這就是說“如果二次函數y=ax2+bx+ c（a≠0）的圖像與x軸有兩個公共點A（x1，0）、B（x2，0），就等價于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根x1、x2”。而一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的情況又可以根據什么式子進行判斷呢？

生5：根的判別式。

師：一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）有兩個不相等的實數根x1、x2，則根的判別式的符號如何？

生6：大于0。

師：正確，我們可以把它們之間的關系歸納如下表：

思考：把二次函數的圖像與x軸有兩個公共點、一元二次方程有兩個不相等的實數根以及b2-4ac＞0三者關系由特殊到一般進行分析，最后歸納，大有瓜熟蒂落之感！并且三者之間關系緊密，用“等價于”符號相連接，體現了轉化的數學思想方法。

四、實踐應用，類比創新

師：經歷了上述探究過程，我們已經基本學會了如何探索二次函數的圖像與x軸公共點的情況、相應的一元二次方程根的情況以及這兩者之間的關系。下面，請大家分組合作，完成探究，并把本小組討論的最后結果歸納到數學探究報告單上．

數學探究報告單（一）

班級：_____姓名：_____組別：_____

日期：_______年___月___日

小組成員：_________組長：_________

評價成績：_________

數學探究報告單（二）

班級：_____姓名：_____組別：_____

日期：_______年___月___日

小組成員：_________組長：_________

評價成績：________________

思考：由于在“探究一”“探究二”中，學生已經學會了探究問題的方法，故后面的兩個問題可以放手讓學生分小組在合作過程中運用類比的方法繼續進行探究，老師對有困難的小組適時進行引導、點撥，并以數學探究報告單的形式按“由特殊到一般”“類比”的數學思想方法進行歸納，然后以小組代表匯報的形式上臺進行陳述，老師及時補充、小結、鼓勵，使學生逐步獲得技能。

五、歸納小結，提煉升華

教學片段3：師生共同總結涉及到的數學思想方法，并進行鞏固練習。

師：同學們，經歷了前面三組問題的探究，我們已經體會了哪些數學思想方法？

生7：數形結合。

生8：分類討論。

生9：從特殊到一般。

生10：類比的思想。

師：這節課的課題是“二次函數與一元二次方程”，當然蘊含函數思想和方程思想。通過上面的探究，你能把我們剛剛得到的成果完整地歸納一下嗎？

生11：拋物線與x軸的公共點個數和一元二次方程根的判別式Δ之間的關系（如圖3）：

圖3

（1）拋物線與x軸有兩個公共點Δ>0；

（2）拋物線與x軸只有一個公共點Δ=0；

（3）拋物線與x軸沒有公共點Δ<0。

（教師拿出一根粗電線做成的“拋物線”，配合生11，在黑板上進行拋物線的平移演示，主要目的是讓學生進一步體會拋物線與x軸的公共點的個數，然后帶著滿臉的疑惑提問）

師：如果拋物線的開口方向向下呢？

生12：同樣的只需要看其與x軸的公共點的個數，就能知道相應的一元二次方程的解的情況，也即知道根的判別式Δ與0的大小關系。

思考：讓學生對照圖形進行歸納，體現了數形結合的數學思想方法；平移“拋物線”，演示其與x軸的不同位置體現了分類討論的數學思想方法；通過圖3中的拋物線開口向上的情況進行歸納，然后提問開口向下時有何結論，體現了類比的數學思想方法。在這些方法的引領和滲透下，讓學生把探究的過程、形成的結論進行歸納，學生的感受當然很“自然”。

師：同學們，課前大家欣賞的是什么歌曲？

生（齊）：《隱形的翅膀》。

師：大家會唱這首歌嗎？

生（齊）：會唱。

師：今天這一節課我們運用了不少的數學思想方法來解決問題，這些數學思想方法就像“隱形的翅膀”，既能幫助我們解決問題，又能使我們的思維自由飛翔。老師將歌曲中的兩句歌詞改動了兩個字。

（大屏幕上顯示“我看見，每天的‘習題’也會有變化，我知道，我一直有雙隱形的翅膀”，學生充滿激情地齊唱）

師：大家唱得太好了！同學們，我們已經學得“本領”，應該到了大顯身手的時刻了，讓我們試試數學思想這個“隱形的翅膀”，怎樣助你飛翔，請運用所學知識解決下列問題。

（1）不畫圖像，你能說出函數y=x2+x-6的圖像與x軸的公共點坐標嗎？

（2）判斷下列函數的圖像與x軸是否有公共點，并說明理由。

①y=x2-x；②y=x2+6x-9；③y=3x2+6x+11

（注：上面兩道題是課本上的練習，目的是鞏固二次函數與一元二次方程之間的關系，具體解法略）

（3）①已知拋物線y=x2+px-q與x軸的兩個公共點為（-1，0）、（3，0），則p=____，q=_____；其對稱軸為直線_________；②若x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根，則拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是_____________。

（4）已知拋物線y=x2-6x+a，①若其頂點在x軸上，則a=_________；②若與x軸有兩個公共點，則a的范圍是_________；③若與x軸沒有公共點，則a的范圍是_________；④將題目中拋物線y=x2-6x+a改為y=ax2-6x+1，則上面3個小題的答案有沒有變化呢？

（5）已知：函數y=ax2+x+1的圖像與x軸只有一個公共點，求這個函數關系式。（此題為鹽城市2010年中考數學試卷最后一題的第1小題）

思考：上面兩題主要考查學生對拋物線與x軸公共點的情況和一元二次方程根的判別式Δ之間的關系，滲透的是轉化思想。值得一提的是第（4）題的第④小題，拋物線改為y=x2-6x+1后，需注意a≠0；尤其要注意的是第（5）題中的函數不一定是二次函數，它也可以是一次函數。兩小題放在一起，讓學生通過比較，加深印象。評講第（4）（5）兩小題時，還用了教者自編的防錯“訣招”：“函數關于愛克斯（x），一次二次要三思！”此口訣通俗有趣，便于記憶，利于理解，深受聽課師生的歡迎。

（6）二次函數y=x2-2x+m的圖像與坐標軸有兩個公共點，求m的值。

思考：解本題時學生極易在兩處出錯。首先，題目條件是已知“函數圖像與有兩個公共點”，學生容易錯看成“與x軸有兩個公共點”；其次，只考慮拋物線與x軸只有一個公共點（拋物線與x軸相切）的情形，遺漏了拋物線與x軸有兩個公共點且經過原點的情形。解此題應分別考慮m=0和m≠0兩種情況，本題滲透的是分類的數學思想方法。總而言之，教者精心設計的練習，旨在檢測學生對兩個“二次”關系的理解，體現數學思想方法的滲透和對學生完成練習的指引作用。