奧運與二次函數

陳壽來

奧運與二次函數

陳壽來

今年是奧運年，中國運動健兒在里約奧運會上再創佳績.可你們知道嗎，奧運還與我們學習的數學有“深厚”的聯系呢.下面圍繞二次函數這一部分內容，以奧運為載體，談談它們之間的密切聯系.

一、比賽項目與二次函數

在奧運會的賽場上，人、球或其他物體在空中運動的某一段過程形成的軌跡可以看成拋物線，我們以跳水和足球為例.

例1如圖1，2016年里約奧運會，某運動員在10米跳臺跳水比賽時估測身體（看成一點）在空中的運動路線是拋物線（如圖建立直角坐標系，圖中標出的數據為已知條件），運動員在空中運動的最大高度離水面為米.

圖1

【分析】首先把拋物線解析式配成頂點式，從而得到拋物線的頂點坐標，進而得到運動員在空中運動的最大高度離水面為多少米.

例2如圖2，在某場足球比賽中，球員甲從球門底部中心點O的正前方10m處起腳射門，足球沿拋物線飛向球門中心線；當足球飛離地面高度為3m時達到最高點，此時足球飛行的水平距離為6m.已知球門的橫梁高OA為2.44m.

圖2

（1）在如圖所示的平面直角坐標系中，問此飛行中的足球能否進球門？（不計其他情況）

（2）守門員乙站在距離球門2m處，他跳起時手的最大摸高為2.52m，他能阻止球員甲的此次射門嗎？如果不能，他至少后退多遠才能阻止球員甲的射門？

【分析】（1）根據條件可以得到拋物線的頂點坐標是（4，3），利用待定系數法即可求得函數的解析式；

（2）求出當x=2時，拋物線的函數值，與2.52米進行比較即可判斷，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）拋物線的頂點坐標是（4，3），

設拋物線的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

故能射進球門；

∴守門員乙不能阻止球員甲的此次射門，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

∴2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球員甲的射門.

二、商品與二次函數

里約當地的商店有很多奧運紀念品，店家為了獲得更多利潤，要對紀念品做出合適的定價.

例3奧運會某紀念品的進價為每件40美元，如果售價為每件50美元，每天可賣出210件；如果售價超過50美元但不超過80美元，每件紀念品的售價每上漲1美元，則每天少賣1件；如果售價超過80美元后，若再漲價，則每漲1美元每天少賣3件.設每件紀念品的售價為x美元，每天的銷售量為y件.

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設每天的銷售利潤為W，請直接寫出W與x的函數關系式；

（3）每件紀念品的售價定為多少美元時，每天可獲得最大利潤？每天最大利潤是多少美元？

【分析】（1）當售價超過50美元但不超過80美元時，每件紀念品的售價每上漲1美元，則每天少賣1件，y=260-x，50≤x≤80；當售價超過80美元后，若再漲價，則每漲1美元每天少賣3件，y=420-3x，80＜x＜140.

（2）由利潤=（售價-成本）×銷售量，列出函數關系式.

（3）分別求出兩段函數的最大值，然后作比較.

【解答】（1）略解，

（2）由利潤=（售價-成本）×銷售量，可以列出函數關系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80＜x＜140）；

（3）當50≤x≤80時，w=-x2+300x-10400，

當x=80時有最大值，最大值為7200，

當80＜x＜140時，w=-3x2+540x-16800，

當x=90時，有最大值，最大值為7500，

故售價定為90美元，每天利潤最大為7500美元.

三、贊助商與二次函數

在奧運會上有很多簽約的贊助商，在奧運會期間他們的廣告無處不在.

例4如圖3，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=xcm.

圖3

某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？

【分析】利用已知條件表示出包裝盒的表面面積，進而利用函數最值求出即可.

∵0＜x＜12，

∴當x=8時，S取得最大值384cm2.

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）