比較二次函數(shù)值的大小

薛秋萍

比較二次函數(shù)值的大小

薛秋萍

二次函數(shù)值的比較大小類試題一直是中考熱點(diǎn)問(wèn)題.這類問(wèn)題一方面凸顯了對(duì)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)的基本知識(shí)、核心知識(shí)的考查，另一方面體現(xiàn)了對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要思想方法的考查.

【引例】

已知點(diǎn)A（2，y1），B（-1，y2）在拋物線y=（x-1）2+1上，則比較y1，y2的大小關(guān)系_______.

【常規(guī)思路】

從代數(shù)的角度，我們可以根據(jù)二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將A（2，y1），B（-1，y2）代入二次函數(shù)分別計(jì)算出y1，y2的值，然后再比較它們的大小；從函數(shù)的角度，我們可以先利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，將對(duì)稱軸異側(cè)兩點(diǎn)A（2，y1），B（-1，y2）轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸的同一側(cè)兩點(diǎn)A（2，y1），B′（3，y2），再根據(jù)二次函數(shù)的增減性比較大小.

【題后反思】

從解題中我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)法的本質(zhì)即利用圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為代數(shù)式值的比較大小.而函數(shù)法的本質(zhì)即結(jié)合二次函數(shù)的圖像，利用函數(shù)增減性把二次函數(shù)值的比較大小轉(zhuǎn)化為比較A、B兩點(diǎn)到對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近.

代數(shù)法是順其自然的解答，函數(shù)法是數(shù)形結(jié)合的方法，直觀簡(jiǎn)單.這兩種方法時(shí)刻貫穿于我們二次函數(shù)的值比較大小的問(wèn)題中，如何準(zhǔn)確熟練使用好這兩種方法呢？下面我們一起看三個(gè)例題分析.

【應(yīng)用實(shí)例】

例1二次函數(shù)y=mx2-2mx+m2+1（m＜0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，y1），B（-1，y2），則比較y1，y2的大小關(guān)系_______.

【思路分析】順其自然我們會(huì)想到代數(shù)法，利用代入法算出y1=m2+1，y2=m2+3m+1，然后利用作差法得出y1-y2=-3m＞0即y1＞y2.由于函數(shù)法取決于開(kāi)口方向與對(duì)稱軸，只有找出“隱形”對(duì)稱軸x=1，進(jìn)一步判斷出A點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離比B點(diǎn)到對(duì)稱軸距離要近，再根據(jù)開(kāi)口向下，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大進(jìn)而得出y1＞y2.

【題后反思】

一般情況下，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知，我們易用代數(shù)法解決問(wèn)題；若對(duì)稱軸以及開(kāi)口方向顯然可知，用函數(shù)法相對(duì)比較簡(jiǎn)單.

例2已知拋物線y=（x-3）2+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，y1），B（n，y2），且|m-3|＜|n-3|，則比較y1，y2的大小關(guān)系________.

【思路分析】此題中非常清晰可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸與開(kāi)口方向，函數(shù)法應(yīng)該優(yōu)先考慮.再根據(jù)|m-3|＜|n-3|，不難得出A點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離比B點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離要近，再根據(jù)“開(kāi)口向上，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大”進(jìn)而得出y1＜y2.代數(shù)法也可以，我們利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=（m-3）2-（n-3）2＜0，即y1＜y2.

【題后反思】用函數(shù)法處理問(wèn)題時(shí)我們僅需關(guān)注二次函數(shù)的對(duì)稱軸與開(kāi)口方向以及已知點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離的遠(yuǎn)近，與已知點(diǎn)在對(duì)稱軸的同側(cè)還是異側(cè)關(guān)系不大。

例3已知點(diǎn)A（m，y1），B（m+1，y2），在拋物線y=（x-1）2+1上，則比較y1，y2的大小關(guān)系________.

【思路分析】代數(shù)法，常規(guī)做法利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=-2m+1，由于m的取值未知，故而對(duì)-2m+1的正負(fù)性討論，最后得出：當(dāng)m=0.5時(shí)，y1=y2；當(dāng)m＞0.5時(shí)，y1＜y2；當(dāng)m＜0.5時(shí)，y1＞y2.二次函數(shù)的對(duì)稱軸與開(kāi)口方向都易知，函數(shù)法應(yīng)該也是可以的.但從題目中難以確定A點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離與B點(diǎn)到對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近，于是必須對(duì)此進(jìn)行討論，即|m+1-1|與|m-1|比大小.當(dāng)A點(diǎn)與B點(diǎn)到對(duì)稱軸距離一樣時(shí)，m=0.5，此時(shí)y1=y2；當(dāng)A點(diǎn)到對(duì)稱軸較近時(shí)，m＞0.5，此時(shí)y1＜y2；當(dāng)A點(diǎn)到對(duì)稱軸較遠(yuǎn)時(shí)，m＜0.5，此時(shí)y1＞y2.

【題后反思】此題中無(wú)法判斷兩點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離的遠(yuǎn)近，似乎用函數(shù)法不易理解，下面我們把它簡(jiǎn)化為判斷AB中點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置.

【變式】若二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（a＞0）經(jīng)過(guò)A（m，y1），B（n，y2）兩點(diǎn)，且m＜n，求y1，y2的大小關(guān)系.

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)的函數(shù)值比較大小的方法：

（1）代數(shù)法.具體步驟：①代入求值；②作差比較.

（2）函數(shù)法.具體步驟：①找對(duì)稱軸與開(kāi)口方向畫(huà)出簡(jiǎn)圖；②求AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③判斷AB中點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置（點(diǎn)在對(duì)稱軸上、左、右）；④根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)得出結(jié)論.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第二中學(xué)）