旋轉(zhuǎn)經(jīng)常見 解法靈活變

□ 華興恒

旋轉(zhuǎn)經(jīng)常見 解法靈活變

□ 華興恒

旋轉(zhuǎn)是各地中考常見的題型，常常令同學(xué)們望而生畏，不知如何入手求解.下面從各地中考試題中選取不同類型的旋轉(zhuǎn)試題進(jìn)行分析、求解，希望對(duì)同學(xué)們能夠有所啟發(fā)，克服畏懼心理，提高解題技能.

一、點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

例1（孝感）在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)P（－5，3）向右平移8個(gè)單位得到點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P2，則點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（ ）.

A.（3，－3） B.（－3，3）

C.（3，3）或（－3，－3）

D.（3，－3）或（－3，3）

解析：點(diǎn)P（－5，3）向右平移8個(gè)單位得到的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（3，3），若點(diǎn)P1繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（3，－3）；若點(diǎn)P1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（－3，3）.因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（3，－3）或（－3，3），故應(yīng)選D.

二、直線的旋轉(zhuǎn)

例2（長(zhǎng)沙）如圖1，在菱形A B C D中，A B＝2，∠A B C＝60°，對(duì)角線A C、B D相交于點(diǎn)O，將對(duì)角線A C所在的直線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α （0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與A D、B C兩邊分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.

（1）求證：△A O E≌△C O F；

（2）當(dāng)α＝30°時(shí)，求線段E F的長(zhǎng)度.

圖1

解析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)有

A O＝O C，∠O AE＝∠O C F，

又∵ ∠A O E＝∠C O F，

∴ △A O E≌△C O F.

（2）∵ A B＝B C＝2，∠A B C＝60°，

∴ △A B C為等邊三角形.

∴ A C＝2，∠A C B＝60°，

此時(shí)O C＝1.

∴ 當(dāng)α＝30°時(shí)，O F⊥B C.

在Rt△O F C中，∠C O F＝30°，

三 角的旋轉(zhuǎn)

例4 （天津）如圖2，已知?A B C D中，A E⊥B C于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠A B C，把△B A E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△B A′E′，連接D A′.若∠A D C＝60°，∠AD A′＝50°，則∠D A′E′的大小為（ ）.

A.130° B.150°

C.160° D.170°

圖2

解析：∵ ∠AD C＝60°，

∴ ∠A B C＝60°，

∠D AB＝∠C＝120°，

∴ ∠B A E＝∠B A′E′＝30°，

∠D A′B＝∠A′D C＋∠C

＝10°＋120°＝130°，

∴ ∠D A′E′＝∠D A′B＋∠B A′E′

＝30°＋130°＝160°.

故應(yīng)選C.

四、三角形的旋轉(zhuǎn)

例4（上海）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°.將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處.延長(zhǎng)線段AD，交原三角形的邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，那么線段DE的長(zhǎng)等于_____.

圖3

解析：如圖3，過點(diǎn)C作C F⊥AD，垂足為點(diǎn)F.

在Rt△A C F中，

A F＝tan∠A C F×C F＝4 3，

∴ D F＝8－4 3.

在△A B E中，∠B A E＝2∠B A C＝60°，∠B＝75°，則∠E＝45°，

∴ E F＝C F＝4，

∴D E＝E F－D F

例5（菏澤）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xO y中，直線y＝ 3 x經(jīng)過點(diǎn)A，作A B⊥x軸于點(diǎn)B，將△A B O繞點(diǎn)B逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°得到△C B D.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（ ）.

A.（－1， 3） B.（－2， 3）

C.（-3，1） D.（-3，2）

圖4

解析：∵ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），A B⊥x軸，

∴ O B＝2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.

∴ 點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2 3，

∴A B＝2 3.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得B C＝A B＝2 3，且∠AB C＝60°，

∴ ∠C B O＝90°－∠A B C＝30°.

過點(diǎn)C作C E⊥x軸于點(diǎn)E，

B E＝B C·cos∠C B O

＝2 3·cos30°＝3，

∴O E＝BE－O B＝1，

∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1， 3）.

應(yīng)選A.

五、正方形的旋轉(zhuǎn)

例6（紹興）正方形A B C D和正方形AE F G有公共頂點(diǎn)A，將正方形A E F G繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠D A G＝α，其中0°≤α≤ 180°，連接D F、B F，如圖5.

圖5

（1）若α＝0°，則D F＝B F，請(qǐng)你加以證明.

（2）試畫一個(gè)圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題.

（3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說明理由.

解析：如圖6，在正方形A B C D與正方形A E F G中，

∵ G F＝E F，AG＝A E，A D＝A B，

∴ D G＝B E.

又∵ ∠D G F＝∠B E F＝90°，

∴ △D G F≌△B E F，

∴ D F＝B F.

圖7

圖6

（2）圖形（即反例）如圖7.

（3）點(diǎn)F在正方形A B C D內(nèi)或α＜180°.