一題“多變”，提升能力

□ 喻俊鵬

一題“多變”，提升能力

□ 喻俊鵬

有些數學問題通過改變其題設條件或結論，就會變成一個新的問題，雖然它們從表面形式上看不一樣，但其實質卻是相同的.

例 （人教版九年級數學上冊P101頁習題24.2第4題）如圖1，直線A B經過⊙O上的點C，并且O A＝O B，C A＝C B.求證：直線A B是⊙O的切線.

圖1

分析：要證明一條直線是圓的切線，通常從兩方面去思考：

①若已知直線與圓有公共點，則連接圓心與公共點，構造出一條半徑，證明直線垂直于這條半徑，根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”，可知該直線是圓的切線，可簡記為“連半徑，證垂直”.

②若不能確定直線與圓有公共點，則可過圓心作直線的垂線段，然后證明垂線段的長等于圓的半徑，根據“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”，可知該直線是圓的切線，可簡記為“作垂直，證半徑”.

根據上述方法，結合題設條件，易知本題可采用“連半徑（O C），證垂直（O C⊥A B）”的方法，證明A B是⊙O的切線.

解題之余，我們可對此問題進

行以下多層次變化探究，以提高分析問題、探究問題與解決問題的能力.

一、改變題設條件

若保證原題結論直線是圓的切線不變（半徑與直線垂直），變換問題的條件，就可得到如下的新問題：

變式1 如圖2，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝，OB＝ 25，以O為圓心、4為半徑作⊙O，請判斷⊙O與直線AB有怎樣的位置關系？并說明你的理由.

圖2

分析：本題中由于改變了題設條件，不能確定直線AB與⊙O是否有公共點，因此需采用方法②，“作垂直，證半徑”.即過O點作OC⊥AB（如圖3所示），然后通過勾股定理及面積公式得到OC＝4，從而判定直線AB與⊙O相切.

圖3

變式2 如圖4，直線AB經過⊙O上的點C，OA與⊙O交于點D，若OA＝OB，AD＝CD，∠A＝30°.求證：直線AB是⊙O的切線.

圖4

分析：由于已知直線AB經過⊙O上的點C，因此本題可采用方法①，“連半徑，證垂直”.即連接OC，利 用 ∠A＝∠ACD＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°，得到∠AOC＝90°，從而證明直線AB是⊙O的切線.

二、條件與結論互換

將問題的結論作為條件，而將某個條件作為結論就可得到以下問題：

變式3 如圖5，在△ABC中，OA＝OB，以點O為圓心，作⊙O與邊AB相切于點C.求證：AC＝BC.

圖5

變式4 如圖6，點C是△ABC 中AB邊的中點，以點O為圓心，作⊙O與邊AB相切于點C.求證：OA＝OB.

圖6

分析：變式3和變式4都是將原題中的結論“AB是⊙O的切線”作為條件，而將某一條件作為要證明的結論.變式3通過連OC，由切線性質及等腰三角形“三線合一”的性質不難得證；而變式4則在連OC后，可由切線及中垂線性質證得.

三、加強條件，拓展結論

我們也可這樣思考，在保證原題條件與結論不變的同時，加設問題的條件，延伸出新的結論，這樣就可得到如下的問題：

變式5 如圖7，在△ABC中，OA＝OB，C是邊AB的中點，以O為圓心的圓過點C，且與OA交于點E，與OB交于點F，連接CE、CF.

圖7

（1）AB是⊙O的切線嗎？為什么？

（2）若∠AOB＝∠ECF，試判斷四邊形OECF的形狀，并說明你的理由.

分析：本題的第（1）問實質上與原課本習題完全相同，而第（2）問則通過連接圖形中圓上已有的點，形成四邊形，對原題圖形進行了拓展.

連OC，

易知△EOC≌△FOC（SAS），

得到CE＝CF，

由增加的條件∠AOB＝∠ECF 可 知 ∠EOC＝∠ECO，所 以 CE＝OE＝OF＝CF，從而判斷四邊形OECF為菱形.

由上可見，問題的條件和結論雖然發生了變化，但其實質（圓中的基本圖形及AB是⊙O的切線）并沒有發生變化.學習中我們要把握問題的本質，以不變應萬變，只有這樣，才能不斷提升自己的解題能力.