一題“多變”，提升能力

□ 喻俊鵬

一題“多變”，提升能力

□ 喻俊鵬

有些數(shù)學(xué)問題通過改變其題設(shè)條件或結(jié)論，就會(huì)變成一個(gè)新的問題，雖然它們從表面形式上看不一樣，但其實(shí)質(zhì)卻是相同的.

例 （人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)P101頁習(xí)題24.2第4題）如圖1，直線A B經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且O A＝O B，C A＝C B.求證：直線A B是⊙O的切線.

圖1

分析：要證明一條直線是圓的切線，通常從兩方面去思考：

①若已知直線與圓有公共點(diǎn)，則連接圓心與公共點(diǎn)，構(gòu)造出一條半徑，證明直線垂直于這條半徑，根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”，可知該直線是圓的切線，可簡記為“連半徑，證垂直”.

②若不能確定直線與圓有公共點(diǎn)，則可過圓心作直線的垂線段，然后證明垂線段的長等于圓的半徑，根據(jù)“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”，可知該直線是圓的切線，可簡記為“作垂直，證半徑”.

根據(jù)上述方法，結(jié)合題設(shè)條件，易知本題可采用“連半徑（O C），證垂直（O C⊥A B）”的方法，證明A B是⊙O的切線.

解題之余，我們可對(duì)此問題進(jìn)

行以下多層次變化探究，以提高分析問題、探究問題與解決問題的能力.

一、改變題設(shè)條件

若保證原題結(jié)論直線是圓的切線不變（半徑與直線垂直），變換問題的條件，就可得到如下的新問題：

變式1 如圖2，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝，OB＝ 25，以O(shè)為圓心、4為半徑作⊙O，請(qǐng)判斷⊙O與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？并說明你的理由.

圖2

分析：本題中由于改變了題設(shè)條件，不能確定直線AB與⊙O是否有公共點(diǎn)，因此需采用方法②，“作垂直，證半徑”.即過O點(diǎn)作OC⊥AB（如圖3所示），然后通過勾股定理及面積公式得到OC＝4，從而判定直線AB與⊙O相切.

圖3

變式2 如圖4，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，OA與⊙O交于點(diǎn)D，若OA＝OB，AD＝CD，∠A＝30°.求證：直線AB是⊙O的切線.

圖4

分析：由于已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，因此本題可采用方法①，“連半徑，證垂直”.即連接OC，利 用 ∠A＝∠ACD＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°，得到∠AOC＝90°，從而證明直線AB是⊙O的切線.

二、條件與結(jié)論互換

將問題的結(jié)論作為條件，而將某個(gè)條件作為結(jié)論就可得到以下問題：

變式3 如圖5，在△ABC中，OA＝OB，以點(diǎn)O為圓心，作⊙O與邊AB相切于點(diǎn)C.求證：AC＝BC.

圖5

變式4 如圖6，點(diǎn)C是△ABC 中AB邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，作⊙O與邊AB相切于點(diǎn)C.求證：OA＝OB.

圖6

分析：變式3和變式4都是將原題中的結(jié)論“AB是⊙O的切線”作為條件，而將某一條件作為要證明的結(jié)論.變式3通過連OC，由切線性質(zhì)及等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)不難得證；而變式4則在連OC后，可由切線及中垂線性質(zhì)證得.

三、加強(qiáng)條件，拓展結(jié)論

我們也可這樣思考，在保證原題條件與結(jié)論不變的同時(shí)，加設(shè)問題的條件，延伸出新的結(jié)論，這樣就可得到如下的問題：

變式5 如圖7，在△ABC中，OA＝OB，C是邊AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓過點(diǎn)C，且與OA交于點(diǎn)E，與OB交于點(diǎn)F，連接CE、CF.

圖7

（1）AB是⊙O的切線嗎？為什么？

（2）若∠AOB＝∠ECF，試判斷四邊形OECF的形狀，并說明你的理由.

分析：本題的第（1）問實(shí)質(zhì)上與原課本習(xí)題完全相同，而第（2）問則通過連接圖形中圓上已有的點(diǎn)，形成四邊形，對(duì)原題圖形進(jìn)行了拓展.

連OC，

易知△EOC≌△FOC（SAS），

得到CE＝CF，

由增加的條件∠AOB＝∠ECF 可 知 ∠EOC＝∠ECO，所 以 CE＝OE＝OF＝CF，從而判斷四邊形OECF為菱形.

由上可見，問題的條件和結(jié)論雖然發(fā)生了變化，但其實(shí)質(zhì)（圓中的基本圖形及AB是⊙O的切線）并沒有發(fā)生變化.學(xué)習(xí)中我們要把握問題的本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變，只有這樣，才能不斷提升自己的解題能力.