多列組合角接觸球軸承剛度和位移量

馮吉路， 孫志禮， 李皓川， 馬小英， 佟 操

(1．東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院 沈陽，110819) (2．山東省科學(xué)院海洋儀器儀表研究所 青島，266001)

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多列組合角接觸球軸承剛度和位移量

馮吉路1，2， 孫志禮1， 李皓川1， 馬小英1， 佟 操1

(1．東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院 沈陽，110819) (2．山東省科學(xué)院海洋儀器儀表研究所 青島，266001)

以滾動軸承動力學(xué)分析和滾道控制理論為基礎(chǔ)，提出了應(yīng)用Powell優(yōu)化算法和Newton-Raphson算法相結(jié)合的方式計(jì)算非線性方程組，給出了預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速的多列組合角接觸球軸承組合剛度相應(yīng)程序。對7016A5軸承DBD組合的研究結(jié)果表明：預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速與單個(gè)軸承和軸承的組合剛度及位移量呈現(xiàn)非線性關(guān)系。軸承的組合軸向剛度小于單個(gè)軸承的軸向剛度，其徑向剛度大于單個(gè)軸承的徑向剛度。為實(shí)現(xiàn)預(yù)定的軸承動態(tài)性能，單雙側(cè)軸承內(nèi)圈的間隙量須大于兩側(cè)軸承位移量之和。

角接觸球軸承； 轉(zhuǎn)速； 剛度； 預(yù)緊力； 位移量

引 言

高檔數(shù)控機(jī)床是支撐整個(gè)裝備制造領(lǐng)域發(fā)展的核心裝備。軸承作為數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)的重要組成部分，其性能優(yōu)劣直接影響產(chǎn)品的加工精度和加工效率[1-2]。在數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)中，軸承一般以成組配合形式使用，研究多列組合軸承的動態(tài)性能對進(jìn)一步分析機(jī)床主軸系統(tǒng)具有重要意義。

高速角接觸球軸承的剛度受軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)、安裝、預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速和外載荷等因素的影響。 文獻(xiàn)[3-5]指出軸承預(yù)緊力、過盈配合量及離心位移的增加會引起軸承剛度的增加。文獻(xiàn)[6-7]通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了角接觸球軸承的剛度研究。文獻(xiàn)[8]通過實(shí)驗(yàn)法對主軸系統(tǒng)中主軸剛度和系統(tǒng)動態(tài)特性進(jìn)行了研究，根據(jù)固有頻率獲取軸承實(shí)際所承受的預(yù)緊力，解決了軸-軸承系統(tǒng)確定預(yù)緊力的難題。郭向東等[9]分析了預(yù)緊力與主軸動態(tài)特性的影響，說明了主軸剛度與主軸系統(tǒng)動態(tài)特性的相關(guān)性。Jiang等[10]通過建模分析和改善了雙列組合軸承-主軸-拉桿系統(tǒng)的動態(tài)性能。上述研究分析了角接觸球軸承剛度的影響因素及軸承對主軸系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，但沒有針對三列組合軸承性能進(jìn)行分析。

筆者以滾動軸承動力學(xué)分析和滾道控制理論為基礎(chǔ)，提出了應(yīng)用Powell優(yōu)化算法和Newton-Raphson算法相結(jié)合的方式計(jì)算非線性方程組，給出了預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速的多列組合角接觸球軸承組合剛度相應(yīng)程序。分析了預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速對多列組合軸承剛度和位移量的影響。該研究為實(shí)驗(yàn)測量軸承位移量的傳感器選擇提供了理論依據(jù)，并給出了實(shí)現(xiàn)組合軸承性能所需的最小配合間隙量，為指導(dǎo)機(jī)床主軸裝配提供了理論基礎(chǔ)。

1 三列軸承DBD組合軸向力和徑向力分配

當(dāng)多列角接觸球軸承多列組合時(shí)，為明確每個(gè)軸承所承受的總徑向負(fù)荷Fr和總軸向負(fù)荷Fao，在考慮外部徑向負(fù)荷Fre、外部軸向負(fù)荷Fae及預(yù)緊力Fa的情況下，必須計(jì)算出每個(gè)軸承的負(fù)荷分配。三列角接觸球軸承以DBD形式組合受力情況，如圖1所示。

圖1 角接觸球軸承DBD組合受力示意圖Fig.1 Load diagram of DBD combinations of angular contact ball bearing

在DBD組合下，軸承在承受外部徑向負(fù)荷Fre時(shí)，總預(yù)負(fù)荷Fap為

(1)

(2)

此時(shí)，如果Fap1

每個(gè)軸承承受外部軸向負(fù)荷時(shí)的總軸向負(fù)荷(Fa1，F(xiàn)a2)為

(3)

(4)

如果Fa2<0，表示沒有預(yù)緊，則Fa1=Fae/2，F(xiàn)a2=0。

每個(gè)軸承的總徑向負(fù)荷Fr與總軸向負(fù)荷有2/3次方的比例關(guān)系，可得單個(gè)軸承的徑向載荷分別為

(5)

(6)

2 赫茲接觸剛度和組合剛度

根據(jù)赫茲接觸理論，兩接觸物體的接觸載荷與彈性趨近量之間的關(guān)系[4，11]為

(7)

對式(7)關(guān)于Q求導(dǎo)，得到赫茲接觸剛度

(8)

Berwe和Harmrock借助最小二乘法求得簡化關(guān)系式[4]為

(9)

(10)

(11)

其中：k為橢圓率參數(shù)；Γ和Σ分別為第1類和第2類完全橢圓積分。

由式(8)得到第j個(gè)滾動體與軸承內(nèi)外圈滾道間的接觸剛度分別為

(12)

(13)

根據(jù)軸承的幾何關(guān)系，第j個(gè)滾動體與軸承內(nèi)外圈滾道接觸剛度的軸向和徑向分量分別為

利用Z個(gè)滾動體與軸承內(nèi)外圈滾道的串并聯(lián)關(guān)系，得到角接觸球軸承的軸向剛度、徑向剛度和角剛度分別為

(14)

(15)

(16)

當(dāng)角接觸球軸承DBD組合時(shí)，軸承的傾覆力矩引起的傾角變化很小，因此可忽略軸承的角剛度。角接觸球軸承的軸向和徑向組合剛度分別為

(17)

(18)

可見，軸承的組合剛度既與軸承的接觸角和接觸載荷相關(guān)，又與軸承的組合形式有關(guān)。

3 擬靜力學(xué)分析和溝道控制理論

3．1 變形幾何相容方程

假設(shè)外圈溝道曲率中心是固定的，內(nèi)圈溝道曲率中心可以相對移動。建立載荷作用下的坐標(biāo)系，如圖2所示。圖中第j球的方位角為φj，表達(dá)式為

(19)

圖2 軸承受載示意圖Fig.2 The bearing load diagram

固定外圈溝道曲率中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)變形幾何關(guān)系確定第j個(gè)鋼球中心位置，如圖3所示。其中，第j個(gè)鋼球中心位置的變化

(20)

(21)

其中：X1j，X2j，A1j，A2j分別為外滾道曲率中心與第j個(gè)鋼球球心最終位置和內(nèi)滾道曲率中心的水平、垂直距離；fe和fi分別為軸承內(nèi)外圈滾道的曲率半徑系數(shù)；Dw為滾動體直徑。

圖3 球中心和溝道曲率中心的相對位置Fig.3 Relative position of the ball and race curvature center

3．2 滾動體擬靜力學(xué)分析

第j個(gè)滾動體與內(nèi)、外圈的受力情況，如圖4所示。根據(jù)受力平衡關(guān)系得到滾動體的受力平衡方程

(22)

(23)

圖4 第j個(gè)滾動體受力分析Fig.4 Load analysis of the j-th ball

其中：Fcj為第j個(gè)滾動體產(chǎn)生的離心力；Mjg為第j個(gè)滾動體產(chǎn)生的陀螺力矩；λej，λoj為修正系數(shù)。

根據(jù)套圈控制理論：低速時(shí)，滾動體與內(nèi)、外圈接觸面所產(chǎn)生的摩擦力相同，能完全平衡陀螺力矩而不產(chǎn)生滑動，λej，λoj都取1；高速時(shí)，由于離心力效應(yīng)使得滾動體與內(nèi)圈的接觸面不產(chǎn)生摩擦，陀螺力矩完全由滾動體與外圈接觸面的摩擦力平衡，取λej=0，λoj=2。

3．3 軸承擬靜力學(xué)平衡

軸承內(nèi)圈在內(nèi)外載荷的共同作用下處于受力平衡狀態(tài)，對應(yīng)的平衡方程為

(24)

(25)

(26)

4 軸承剛度的計(jì)算方法和程序

計(jì)算軸承的組合剛度時(shí)，分別計(jì)算出每一個(gè)軸承的剛度值，通過求解式(20)～(26)，得到單個(gè)軸承的剛度值。非線性方程組的個(gè)數(shù)為4Z+3，Z為滾動體的個(gè)數(shù)。這樣的大規(guī)模非線性方程組不可能求得解析解，因此必須采用數(shù)值解法求解。筆者采用Powell和Newton-Raphson法結(jié)合的方式求解非線性方程組，該方法克服了Newton-Raphson法求解非線性方程組時(shí)初值要求高、確定迭代收斂判據(jù)難和逐層迭代求解等缺點(diǎn)。軸承組合剛度的求解流程如圖5所示。

圖5 軸承組合剛度計(jì)算流程圖Fig.5 Computation flowchart of combinations stiffness of the bearing

5 計(jì)算結(jié)果及分析

筆者計(jì)算角接觸球軸承7016A5以DBD形式組合的軸承組合剛度時(shí)，忽略了傾覆力矩的影響，不對軸承的角剛度進(jìn)行計(jì)算。由于高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸承3列DBD組合單列側(cè)軸承承受內(nèi)部負(fù)荷增加，有可能造成軸承損傷，所以DBD組合不適合高速旋轉(zhuǎn)。預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速變化的情況下，分別計(jì)算了單個(gè)軸承剛度和軸承的組合剛度。軸承所承受的外部徑向載荷Fre=200 N，軸承材料為GCr15。軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，圖6～13為所有的計(jì)算結(jié)果。

表1 角接觸球軸承的原始參數(shù)

Tab.1 The initial parameters of angular contact ball bearing

軸承參數(shù)數(shù)值軸承內(nèi)徑/mm80軸承外徑/mm125球直徑/mm13.494中心圓直徑/mm103.1417內(nèi)圈溝道半徑/mm7.101外圈溝道半徑/mm6.966滾動體數(shù)目20

由圖6，7可見，在預(yù)緊力Fa=2 kN的條件下，隨著軸承轉(zhuǎn)速的增加，軸承滾動體的離心力將增大，引起軸承內(nèi)接觸角隨轉(zhuǎn)速的增加而增大，外接觸角隨轉(zhuǎn)速的增加而減小，導(dǎo)致了單個(gè)軸承的徑向剛度和組合剛度呈現(xiàn)增加的趨勢，單個(gè)軸承的軸向剛度和組合剛度均呈現(xiàn)減小的趨勢，且軸承的剛度值與轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)非線性關(guān)系。由于軸承DBD的組合形式，單側(cè)軸承的軸向載荷分配是雙側(cè)單個(gè)軸承的2倍,因此雙側(cè)軸承的單個(gè)軸承的軸向剛度和徑向剛度明顯小于單側(cè)軸承。

圖6 軸承徑向組合剛度隨轉(zhuǎn)速的變化Fig.6 Variation of radial combinations stiffness of bearing with rotational speed

圖7 軸承軸向組合剛度隨轉(zhuǎn)速的變化Fig.7 Variation of radial combinations stiffness of bearing with rotational speed

圖8 軸承徑向組合剛度隨預(yù)緊力的變化Fig.8 Variation of radial combinations stiffness of bearing with preload

圖9 軸承軸向組合剛度隨預(yù)緊力的變化Fig.9 Variation of axial combinations stiffness of bearing with preload

由圖8，9所示，在轉(zhuǎn)速n=2 kr/min的條件下，隨著預(yù)緊力的增加，軸承的離心作用被逐漸抑制，軸承的內(nèi)外接觸角均會隨預(yù)緊力的增加而增大，引起單個(gè)軸承以及軸承組合軸向和徑向剛度的增大。單個(gè)軸承以及軸承組合剛度的變化率在逐漸減小，單個(gè)軸承剛度以及軸承組合剛度均呈現(xiàn)明顯的非線性變化趨勢。通過圖6～9的分析可知，軸承的組合軸向剛度小于單個(gè)軸承的軸向剛度，軸承的組合徑向剛度大于單個(gè)軸承的徑向剛度。

圖10 軸承內(nèi)圈軸向位移量隨轉(zhuǎn)速的變化Fig.10 Variation of axial displacement of inner ring with rotational speed

圖11 軸承內(nèi)圈徑向位移量隨轉(zhuǎn)速的變化Fig.11 Variation of radial displacement of inner ring with rotational speed

由圖10，11可知，在預(yù)緊力為Fa=2 kN的條件下， 當(dāng)軸承的轉(zhuǎn)速低于2 kr/min時(shí)， 軸承的徑向和軸向位移量總體變化不大。由于轉(zhuǎn)速較低，單側(cè)軸承的預(yù)緊力是雙側(cè)單個(gè)軸承的軸向單側(cè)軸承預(yù)緊力的2倍，因此雙側(cè)軸承的預(yù)緊力對軸承滾動體的離心作用的抑制作用明顯小于單側(cè)軸承，導(dǎo)致單側(cè)軸承的軸向位移量隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，而雙側(cè)軸承的軸向位移量幾乎沒有發(fā)生變化。當(dāng)軸承的轉(zhuǎn)速大于2 kr/min時(shí)，軸承滾動體的離心作用逐漸增加，使得單側(cè)和雙側(cè)軸承的軸向位移量隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小，徑向位移量隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大。可見，軸承的徑向和軸向位移量隨轉(zhuǎn)速增加的變化均為納米級變化，因此用實(shí)驗(yàn)法測量軸承轉(zhuǎn)速對軸承內(nèi)圈位移量的影響時(shí)，軸承轉(zhuǎn)速越低則需要的測量傳感器的分辨率越高。

由圖12，13分析可知，在轉(zhuǎn)速為n=2 kr/min的條件下，軸承的徑向和軸向位移量隨著轉(zhuǎn)速的增加呈現(xiàn)明顯的非線性變化趨勢，且單雙側(cè)軸承的軸向位移量隨著軸承預(yù)緊力的增加而增大，徑向位移量隨著軸承預(yù)緊力的增加而減小。 當(dāng)預(yù)緊力為500 N時(shí)，單側(cè)軸承的預(yù)緊力為500 N，而雙側(cè)單個(gè)軸承的預(yù)緊力為250 N。可見，在雙側(cè)單個(gè)軸承的滾動體離心力作用明顯大于單側(cè)軸承滾動體離心作用的影響，從而導(dǎo)致在軸承的預(yù)緊力小于某一數(shù)值時(shí)，單側(cè)軸承的徑向向位移量小于雙側(cè)軸承的徑向位移量。軸承DBD組合形式使用時(shí)，在給定預(yù)緊力的前提下，單雙側(cè)軸承內(nèi)圈的間隙量必須大于兩側(cè)軸承位移量之和，否則不能實(shí)現(xiàn)軸承的預(yù)定動態(tài)性能。通過圖10～13分析可知，軸承的組合軸向位移量是單雙側(cè)軸承軸向位移量之和，相同轉(zhuǎn)速和特定預(yù)緊情況下，單側(cè)軸承的軸向和徑向位移量均應(yīng)該大于雙側(cè)單個(gè)軸承的軸向和徑向位移量。

圖12 軸承內(nèi)圈軸向位移量隨預(yù)緊力的變化Fig.12 Variation of axial displacement of inner ring with preload

圖13 軸承內(nèi)圈徑向位移量隨轉(zhuǎn)速的變化Fig.13 Variation of radial displacement of inner ring with preload

6 結(jié) 論

1) 提出了Powell優(yōu)化方法和Newtow-Raphson方法并用的技巧求解軸承的擬靜力學(xué)方程，該方法克服了單純使用Newtow-Raphson法對初值要求高的缺點(diǎn)。

2) 單個(gè)軸承的軸向剛度大于軸承的組合軸向剛度，其徑向剛度小于軸承的組合徑向剛度，且單個(gè)軸承剛度以及軸承組合剛度與預(yù)緊力呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系。

3) 在預(yù)緊力不變的情況下，軸承的徑向和軸向位移量隨轉(zhuǎn)速增加的變化均為納米級變化，轉(zhuǎn)速越低軸承的軸向和徑向位移量越小。通過理論計(jì)算軸承位移量，可以為實(shí)驗(yàn)測量軸承位移量的傳感器分辨率的選擇提供理論依據(jù)。

4) 軸承DBD組合形式使用時(shí)，為實(shí)現(xiàn)預(yù)定的軸承動態(tài)性能，單雙側(cè)軸承內(nèi)圈的間隙量必須大于兩側(cè)軸承位移量之和。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.04.027

國家科技重大資助項(xiàng)目(2013ZX04011-011); 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)基金資助項(xiàng)目(N140306004)

2015-06-25；

2015-09-10

TH133.33

馮吉路，男，1988年6月生，博士生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)床主軸動力學(xué)及加工動力學(xué)。曾發(fā)表《Identification of chatter in milling of Ti-6Al-4V titanium alloy thin-walled workpieces based on cutting force signals and surface topography》(《International Journal of Advanced Manufacturing Technology》2016,Vol.82,No.9-12)等論文。

E-mail：fengjilu123@sina.com