基于初始值優化的灰色馬爾科夫鏈預測模型研究

李志亮，羅 芳

(寧德師范學院 計算機系，福建 寧德 352100)

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基于初始值優化的灰色馬爾科夫鏈預測模型研究

李志亮，羅 芳

(寧德師范學院 計算機系，福建 寧德 352100)

在傳統灰色GM(1，1)預測模型的基礎上，首先對預測模型的初始值進行優化，然后采用馬爾科夫鏈對優化后的模型進一步改進，建立了一種基于初始值優化的灰色馬爾科夫預測模型，優化后的模型可以有效提升預測的準確性和穩定性.最后通過對寧德市旅游入境總人數的實例分析，驗證了新模型的有效性，拓展了灰色預測模型的應用范圍，為寧德市旅游事業的發展提供了一種新方法和新思路.

初始值優化;馬氏灰色預測模型;實例分析

0 引言

近年來，隨著旅游行業的快速發展，寧德市旅游產業規模越來越大，并且帶來的經濟效益日益擴大，旅游業已經成為寧德市社會發展和經濟發展的重要推動力量.旅游人數是衡量旅游業發展的重要指標，與當地經濟發展和人民消費密切相關，而旅游人數的預測對于促進旅游業的發展有著重要的影響.目前旅游人數預測主要的方法包括時間序列法、神經網絡預測模型和灰色預測模型等[1]，這些預測模型中，灰色理論[2]中的GM(1，1)灰色預測模型具有數據樣本小、計算簡單、預測結果與實際結果較為擬合等特點，已經被眾多學者研究和應用[3]，并且很多學者已經對GM(1，1)灰色預測模型進行了優化和改進[4-5].王曉霞等運用GM(1，1)灰色預測模型建立了旅游人數預測模型，并應用到牡丹江市的旅游人數預測中，得到了未來旅游人數的變化規律[6].王璐等對GM(1，1)模型進行優化，并實例驗證了優化后模型在預測結果上的有效性[7].優化后的灰色預測模型已經越來越多的應用到旅游領域中，并起到了較好的效果[8-9].

雖然GM(1，1)模型具有上述優點，但是其在預測波動性較強的數據序列時預測效果較差，并且在初值的選取方面還有待進一步的優化[10]，而馬爾科夫鏈對于數據隨機波動較大的預測具有較好的預測精度和穩定性[11]，因此采用馬爾科夫鏈對GM(1，1)灰色預測模型優化有著較好的理論基礎和科學依據.

結合上述學者的研究以及旅游歷史數據隨機波動較大的特點，首先在傳統灰色GM(1，1)預測模型的基礎上，拓展預測數據的范圍，優化GM(1，1)模型預測過程中的初始值.然后通過馬爾科夫鏈對優化模型進行進一步的修正，進而提高預測模型的預測精度和穩定性.最后以寧德市旅游入境總人數預測為例，對比傳統灰色預測模型的預測結果、改進預測模型的預測結果和實際旅游相關數據結果，驗證優化預測模型的準確性和穩定性.

1 灰色GM(1，1)預測模型中初始值的優化

傳統的GM(1，1)預測模型，在一步累加得到的序列具有較強的灰指數率，參數a,b的選取對預測精度有著重要的影響，而原始數據和模型的初始值又直接影響這參數a,b的值，因此初始值的優化對GM(1，1)預測模型的預測精度有著重要的影響.傳統的初始值是采用公式(1)進行計算初始值的，具體如下：

X(1)(i)=0.5×(X(0)(i)+X(0)(i-1)).

(1)

上述初始值的選取沒有對后續信息的利用，因此會對預測結果的精度產生不良影響.本文在傳統初始值計算的基礎上，通過對傳統初始值計算的優化，來提高預測精度.本文中選取預測值殘差最小的X(1)的分量X(1)(i)最為灰色預測模型的初始條件，這樣充分利用了后續的新信息，可以較好的提高預測精度，初始值的選取公式如下：

X(1)=min(X(1)(i))，

(2)

其中i=1,2,…n.

則初始值優化后灰色預測模型的時間響應表達式為：

(3)

恢復原始序列，得到預測值：

(4)

2 馬爾科夫鏈修正后的模型

在初始值優化的基礎上，結合馬爾科夫鏈理論，建立初始值優化的灰色馬爾科夫鏈預測模型，進一步提高預測的穩定性和準確性.具體步驟如下：

1)計算殘差

由公式(5)計算殘差序列，用E(0)(k)表示:

(5)

其中k=1,2,…n.

2)劃分殘差狀態

根據公式預測模型中的殘差大小，劃分為m個狀態，每個狀態用Si表示，其中：Si∈[Li,Hi].Li和Hi表示第i個狀態的上下邊界：

(6)

其中k=1,2,…n;i=1,2,…m.

3)構造狀態轉移概率矩陣

(7)

(8)

4)得到預測值 根據狀態轉移概率矩陣，得到預測值：

(9)

其中：ui(t)表示灰色殘差序列中從上一個狀態變換為下一個狀態的概率，參數t為轉移的時間，vi表示區間的中點.

3 實例分析

采用寧德市近7年的旅游收入數據，數據來自寧德市國民經濟和社會發展統計公報，以寧德市旅游入境總人數數據為例，利用前6年寧德市旅游入境總人數的歷史數據進行建模，預測寧德市旅游入境總人數，原始的歷史數據見表1.

表1 2010-2015年寧德市旅游入境總人數

注：表中總人數和后續表中的預測值與實際值的單位均為萬人.

根據表1中的實際數據，采用傳統的GM(1，1)預測模型和初始值優化后的灰色預測模型，對2010年后的寧德旅游入境總人數進行預測，把預測結果、殘差分析和實際總人數進行對比.具體結果如表2.

表2 兩種預測模型的預測值、殘差和實際值

由表2可以看出，通過初始值優化后預測結果比傳統的GM(1，1)預測模型的預測結果更為準確，其殘差更小，波動幅度值更低.兩種預測模型對2015年寧德市入境總人數預測的結果分別是1877.91萬人和1857.6501萬人，而2015年寧德市旅游入境總人數為1837.4萬人，可見預測結果隨著數據的增多，其波動值基本是降低趨勢，但是在波動范圍較大的變化時，比如2012年旅游人數急劇增加的時候，兩種預測方法的預測結果都有較大的波動，但比較起來，初始值優化的預測模型較原始GM(1，1)預測模型的預測結果具有更高的準確性和穩定性.

下面通過馬爾科夫修正的灰色預測模型，對寧德市旅游總收入進行進一步的預測，過程如下.

1)劃分殘差狀態

根據表2中的殘差值，劃分殘差狀態數量為3個，分別表示增長趨勢減緩、增長趨勢增長和增長趨勢較快三個狀態，分別用S1、S2和S3，殘差采用初始值優化后的殘差結果，其區間范圍分別為：

S1∈[-36.1794,-25.3187],S2∈[-25.3186,6.5251],S3∈[6.5252,53.0625].

2)構造狀態轉移矩陣

根據表2中殘差修正的數據，結合殘差狀態劃分，將表2中的數據殘差劃分為3個狀態，得到表3.

表3 寧德市旅游總收入預測與殘差狀態劃分

通過公式(11)計算狀態轉移矩陣，結合表3中狀態劃分，得到寧德市旅游入境總人數的狀態轉移矩陣P：

3)得到預測值

結合狀態轉移矩陣，根據公式(13)得到預測值，預測結果見表4.

表4 灰色馬爾科夫模型預測結果

由表4可以看出，隨著數據量的增多，數據預測呈現更好的穩定性和準確性，在初始值優化基礎上的灰色馬爾科夫預測模型，可以更精確的預測寧德市旅游入境總人數，特別是在數據波動較大的2012年，其預測結果與初始值優化后的預測模型比較，和真實值的擬合性更好.

把傳統的GM(1，1)模型、初始值優化后的預測模型和灰色馬爾科夫優化后的預測模型的預測值進行整合，把三種預測模型的預測結果與真實值進行匯總分析，得到表5，表5中數據反映了三種預測模型與真實值的擬合情況.從表5可以看出，基于初始值優化的灰色馬爾科夫預測模型具有更好的擬合性，與真實值的殘差更小，即預測結果更準確，穩定性更好.

表5 三種預測模型預測結果與實際值

從表5中數據可以得出，對傳統GM(1，1)灰色預測模型改進過程中，預測結果的殘差是呈降低趨勢的，即初始值優化模型的殘差小于傳統GM(1，1)預測模型的殘差，而灰色馬爾科夫預測模型的殘差比初始值優化的預測模型殘差更小，各種預測模型的殘差計算結果如表6.

表6 三種預測模型殘差結果比較

由表6的殘差數據對比可以看出，灰色馬爾科夫預測模型除了2011年預測的殘差較大外，其余年份預測結果殘差都是最小的，這說明隨著數據量的增多，其預測結果越來越擬合實際值，而且其在2012年數據波動性較大時的預測結果與實際結果更為擬合，驗證了基于初始值優化的灰色馬爾科夫預測模型的有效性和準確性.

4 總結

本文從傳統灰色預測的GM(1，1)模型的局限性出發，通過初始值優化和馬爾科夫鏈對GM(1，1)模型進行優化，優化的灰色預測模型可以較好的解決傳統GM(1，1)預測模型對隨機波動數據預測結果不夠準確的問題，拓展了傳統灰色GM(1，1)預測模型的應用范圍，并較好的提高了預測精度和穩定性.最后將優化的灰色預測模型應用到寧德市旅游入境人數的預測中，預測了寧德市旅游入境總人數，并與傳統GM(1，1)預測模型和實際值進行對比，通過實例數據對比驗證了優化預測模型的有效性和準確性，為旅游業的發展提供決策支持.

未來工作中將進一步優化殘差修正，尋求更優殘差修正值，進一步提高預測的精度和準確性.同時對其他的灰色預測模型進行研究，包括灰色Verhulst預測模型，深入研究這些模型的特點，拓展灰色預測模型的使用范圍，提升灰色預測模型的預測精度.

[1]王哲河,林越,張僑. Dijkstra算法在三亞旅游線路規劃中的應用[J].瓊州學院學報,2015,22 (5):98-102.

[2]鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢:華中科技大學出版社,2002.

[3]劉思峰.灰色系統理論及其應用[M].7版.北京:科學出版社,2014.

[4]何俊,張玉靈.灰色預測模型的優化及應用[J].數學的實踐與認識,2013,43(6)：86-89.

[5]李克昭,李志偉,趙磊杰.馬爾科夫理論的優化灰色模型預測建模[J].測繪科學,2016,41(8)：1-5.

[6]王曉霞,祖培福,潘偉.牡丹江旅游人數預測研究的灰色動態數學模型[J].數學的實踐與認識,2013,43(16) : 35-39.

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(編校：曾福庚)

A Gray - Markov Chain Prediction Model Based on the Optimization of Initial Value

LI Zhi-liang，LUO Fang

(Department of Computer, Ningde Normal University, Ningde Fujian 352100, China)

On the basis of the traditional grey GM (1, 1) prediction model, the initial value of the forecasting model was optimized, and then Markov chain was used to further improve the optimized model. Based on the initial value optimization, a grey Markov prediction model was established. Consequently the optimized model can effectively improve the accuracy and stability of the prediction. Finally in order to provide a new method and new idea for the development of tourism in Ningde, by analyzing the instance of the total number of Ningde city tourism entry, the validity of the new model is verified, meanwhile the application range of the grey prediction model is expanded.

optimization of initial value; Markov Gray forecasting model; case analysis

2016-09-07

福建省中青年教師教育科研項目(JAT160543)；福建省大學生創新創業訓練計劃項目(201610398042)；寧德師范學院青年專項(2015Q05)

李志亮(1981-)，男，山東禹城人，寧德師范學院計算機系講師，研究方向為不確定系統理論.

O211.62；N941.5

A

1008-6722(2016) 05-0055-04

10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.11