一類三階半線性中立型阻尼微分方程的振動性

林文賢

(韓山師范學院 數學與統計學院，廣東 潮州 521041)

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一類三階半線性中立型阻尼微分方程的振動性

林文賢

(韓山師范學院 數學與統計學院，廣東 潮州 521041)

研究一類三階非線性中立型阻尼泛函微分方程,利用廣義Riccati變換和積分平均技巧, 建立了保證該類方程的一切解振動或者收斂于零的若干新的充分條件, 推廣和改進最近文獻的結果.

三階中立型方程；阻尼項；Philos型振動性

0 引言

眾所周知,作為簡諧振蕩的數學模型,二階常微分方程的所有解都有任意大的零點,從而是振動的.而更一般的,描述電子和機械振蕩的數學模型是泛函微分方程,其振動性研究在實際和理論中都有著重要意義.近年來,泛函微分方程的振動理論受到極大關注,可以參看文獻[1-18].但是與一階和二階方程相比,關于三階微分方程的振動性文獻就少得多,而關于三階中立型方程的振動結果則更少. 最新的成果可以參看文獻[19-30].

本文將考慮如下的一類具阻尼項的三階半線性中立型泛函微分方程[r(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α]′+m(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α+?baq(t,ξ)xα[g(t,ξ)]dσ(ξ)=0

(1)

的振動性,其中α是兩個正奇整數之比.在本文中假設下列條件成立：

(H1)r(t)∈C([t0,+∞),(0,+∞)),p(t),m(t)∈C([t0,+∞),R+),R+=[0,+∞)，0≤p(t)≤p<1,且

(H3)g(t,ξ)∈C([t0+∞)×[a,b],R+);g(t,ξ) ≤t,ξ∈[a,b];g(t,ξ)分別關于 t, ξ 非減, 并且

(H4)σ(ξ)∈C([a,b],R)為非減.(1)中的積分為Stieltjes積分.

定義函數

y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)).

(2)

稱方程(1)的解是指函數x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0,使得r(t)[y″(t)]α∈C1[Τx,∞]且在[Τx,∞]上滿足方程(1). 本文只考慮方程(1)滿足性質Sup{|x(t)|:t≥T}>0對一切T≥Tx成立的解.方程(1)的一個解稱為振動, 如果它在[Τx,∞]上有任意大的零點. 否則, 稱它為非振動.

文獻[26]給出了方程(1)當m(t)=0,α=1時的特殊情形的一切解振動或者收斂于零的充分條件,文獻[27]給出了方程(1)當α=1時的特殊情形的一切解振動或者收斂于零的充分條件.我們的目的是利用廣義Riccati變換和積分平均技巧建立使得方程(1)的一切解振動或收斂于零的充分條件,推廣和包含文[26-27]的結果.

1 若干引理

引理1 設x(t)是方程(1)的最終正解, 則由(2)定義的y(t)只能有下列兩種類型

(A)y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0; (B)y(t)>0,y′(t)<0,y″(t)>0;

對t≥t1成立, 其中t1充分大.

證明 設x(t)是方程(1)的最終正解及條件(H3),存在t1≥t0,當t≥t1時,有x(t)>0,x(σ(t))>0,x(g(t))>0,易知,y(t)>x(t)>0且

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-?baq(t,ξ)xα[g(t,ξ)]dσ(ξ)<0,

則

在[t2,t]上對上式積分有

在上式中令t→∞,利用(H1),有y′(t)→-∞,因此y′(t)最終為負.但是,由y′(t)和y″(t)最終為負,可知y(t)最終為負,此與y(t)>0的假設矛盾,故有y″(t)>0.因此y(t),只能有(A)和(B)兩種類型.

引理2 設x(t)是(1)的正解,而相應的y(t)具有(B)型. 如果

(3)

x(t)=y(t)-p(t)x(τ(t))>L-py(τ(t))≥L-p(l+ε)=K(L+ε)=K(L+ε)>Ky(t),

(4)

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-Kα?baq(t,ξ)yα[g(t,ξ)〗)dσ(ξ)，

注意到(H3)和y(t)是(B)型, 得到

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-Kαyα[g(t,b)]?baq(t,ξ)dσ(ξ)≡-q1(t)ya[g1(t)]，

(5)

[z(t)r(t)(y″(t))α]′(r(t)y″(t)z(t))′≤-q1(t)yα(g1(t))z(t),

(6)

從t到∞對式(6)積分產生

r(t)(y″(t))αz(t))′≥?∞tq1(s)y[g1(s)]z(s)ds,

利用yα[g1(t)]≥Lα,z′(t)>0,有

(7)

再對式(7)從t到∞積分,得到

將上式從t1到∞積分,有

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引理3[31]設

u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)≤0,t≥t0,

則對任一θ∈(0,1)存在Tθ≥t0,使得

引理4[32]設

u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)>0,u?(t)≤0,t≥Tα,

則存在β∈(0,1)和Tβ≥Τθ, 使得u(t)≥βtu′(t),t≥Tβ.

引理5[33]設A>0,B>0,X≥0, 則有

2 主要結果

下面利用Philos型的積分平均條件[34],給出方程(1)的新的振動結果.為此引進如下一類函數X. 令

D={(t,s)|t≥s≥t0}, D0={(t,s)|t>s≥t0}.

函數H(t,s)∈C(D，R)稱為屬于X 類, 記作H∈X, 如果滿足

(ⅰ)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

定理1 設(3)成立, 且存在函數H∈X和ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得

(8)

其中

(9)

這里的α和β由引理3和引理4定義, 則方程(1)的每一解x(t)振動, 或者當t→∞時x(t)→0.

證明 設方程(1)存在非振動解x(t),不失一般性,設x(t)最終為正(當x(t)最終為負時可以類似地證明),故存在充分大的t1≥T(T在引理1中提及).使得當t≥t1時有x(t)>0,x(σ(t))>0,x(g(t))>0.下面針對(2)式定義的函數y(t)進行討論.由引理1可知,y(t)可能為型(A)或(B)型.

首先,設y(t)為(A)型,有

x(t)=y(t)-p(t)x(σ(t))≥y(t)-py(t)≥(1-p)y(t).

由(H3)和(1), 得到

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-(1-p)α?baq(t,ξ)yα[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤

-(1-p)αyα[g(t,a)]?baq(t,ξ) dσ(ξ)≡-q2(t)yαg(t,a)，

(10)

其中

q2(t)=(1-p)α?baq(t,ξ) dσ(ξ).

(11)

令

(12)

則有

在引理3中,令u(t)=y′(t),則有不等式

利用引理4得到

y[g(t,a)]≥βg(t,a)y′[g(t,a)].

因此有

(13)

其中Q(t)由(9)和(11)定義.

令

由(13)得到

(14)

取

利用引理5,有

則由(14)產生

或者

(15)

易知,式(15)與條件(8)矛盾,故情形(A)不出現.

注:若取H(t,s)=(t-s)n, 則定理1的Philos型條件簡化為Kamenev型條件.H的其他選擇如下：

3)H(t,s)=-(et-s-es-t)n；

更一般地有

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(編校：吳炎)

Oscillation for Third-Order Neutral Functional Differential Equations with a Damping Term and Distributed Delays

LIN Wen-xian

(College of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Chaozhou Guangdong 521041，China)

The oscillation of third-order nonlinear neutral damped functional differential equations with distributed delays was studied. By using a generalized Riccati transformation and integral averaging technique, established is some new sufficient conditions which insure that any solution of this equation oscillates converges to zero. Consequently, the corresponding results in the latest literature are extended and improved.

a damping term ; third-order neutral equations; Philos-type oscillation

2016-04-12

廣東省高等學校特色創新項目(2014GXJK125);廣東省高等教育教學改革項目(GDJG20142396)

林文賢(1966- ),男,廣東潮州人,韓山師范學院數學與統計學院教授,研究方向為泛函微分方程理論及應用.

O175.10

A

1008-6722(2016) 05-0038-06

10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.08