“多邊形內角和”教學設計（探究式教學法）

王陸生

一、教學目標

知識與技能：掌握多邊形內角和公式；

過程與方法：在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣；

情感、態度與價值觀：體會數學與現實生活的聯系，增強學習的信心.

二、教學重點

多邊形內角和公式的理解和掌握.

三、教學難點

應用多邊形內角和公式解決數學問題.

四、教學工具

備用圖形、課件、課后練習、實物投影.

五、教學方法（探究式教學法）

根據本節課的教學目標、教材內容以及學生的認知特點，采用啟發式、探究式教學方法，幫助學生通過觀察和動手，從實踐中獲得知識.整個探究學習的過程充滿了師生之間、學生之間的交流和互動，體現了教師是教學活動的組織者、引導者，而學生才是學習的主體.

六、學習方法

利用學生的好奇心設疑、解疑，組織活潑、有效的教學活動，鼓勵學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探究和合作交流中理解和掌握本節課的內容.

七、教學過程

（一）師生對話、合作交流

1. 精選知識點

多邊形內角和公式：（n-2）×180°

探究與方法：①教材探究法；②對角線法；③一邊取點法；④內部取點法；⑤外部取點法.

師生共同探究第一種方法：教材探究法；留出時間讓學生探究其他四種方法；分組討論與合作交流.

2. 情境創設點

借助三角形內角和為180°提出問題，第一步：長方形內角和是多少？第二步：正方形內角和是多少？第三步：一般四邊形內角和是多少？

師生互動：共同完成對一般四邊形的內角和探討.針對三角形內角和為180°，在解決四邊形問題時經常用到，也是證明多邊形內角和的基本依據.在此之前，對三角形的內角和為180°已經進行過詳細的證明，例如：平角法、互補法、周角分半法等證明三角形的內角和.

3. 新知切入點

三角形的內角和是多少？你能說出長方形和正方形的內角和是多少嗎？

多邊形內角和公式（n-2）×180°包含三個層次：一是借用三角形內角和完成證明過程；二是一般四邊形的內角和為360°；三是通過四邊形的內角和推導出多邊形的內角和公式.

問題探究：（教材八上，21頁思考部分）

我們知道，三角形的內角和等于180°，正方形、長方形的內角和都等于360°，那么，任意一個四邊形的內角和是否都等于360°呢？你能利用三角形內角和定理證明四邊形的內角和等于360°嗎？

方法一：教材探究法

連接任意一條對角線（圖1），把四邊形分成兩個三角形（教師示范講解）.

教師在示范的基礎上，講解其他可能的證法，引導學生去思考，分組進行合作交流，每個小組派代表到黑板上畫圖，邊講解探究思路，邊書寫證明步驟.這培養了學生的實踐能力，探究能力，合作交流能力，語言表達能力等數學素養，這也是我這堂課選擇探究教學法的原因所在.下面是學生的探究過程和基本思路.

方法二：（學生甲）對角線法

連接兩條對角線（如圖2），分成四個三角形.

方法三：（學生乙）一邊取點法

在四邊形的任意一邊上取一點，連接各頂點（圖3），分割成三個三角形.

方法四：（學生丙）內部取點法

在四邊形內部任意取一點，連接各頂點（圖4），組成三角形，問題解決.

方法五：（學生丁）外部取點法

在四邊形的外部任意取一點，連接各頂點（圖5），組成三角形，問題解決.

問題分析與引領：所有證明方法都根據三角形內角和為180°來解決，根據所分割的三角形個數不同，計算的原理也不同，但最終所得到的結論是相同的，即四邊形內角和為360°.做輔助線的方法與思維過程是難點，如何突破難點是這節課的難關.學生對于四邊形內角和有了認識，利用三角形的內角和是解決問題的突破口.

定義：多邊形的內角和為：（n-2）×180°

例1（教材22頁）已知：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？

解：如上圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°.

這就是說，如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補.

例2：（教材23頁）在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？

根據學生情況及課堂時間的調控，可選擇兩種方法給予證明、講解.（此題作為備用）

此處可選習題：十二邊形的內角和是多少？一個多邊形的內角和是2 700°，求這個多邊形的邊數.

借助動畫展示讓學生更好地理解外角的度數.身體轉動的度數正好是一周，一周正好是360°.體現數學來源于生活，應用于生活，從身邊的實際例子入手解決數學問題.（根據課堂時間情況，也可以將其作為下節課研究內容）

多邊形內角和公式：（n-2）×180°

利用三角形的內角和與四邊形的內角和解決了多邊形內角和問題，使學生對多邊形有了新的認識，同時，學生對于輔助線的作法與表達也有了很大的突破，不同學生有不同的收獲.

對于一題多解、一題多變、一題多想的數學思想，學生還有待于加強，在今后的學習中多練、多講，提高學生的應變能力.

本節課涉及到的引輔助線的方法，可以概括稱為“構造三角形”法，在以后的學習中還會用到.

（二）新知檢測題（略）

八、教學反思

（一）問題設計的有效性

1.所設計的問題應遵循規律，成為感知數學的一種方法.

三角形內角和的求證方法是通過數學的轉化思想，把三角形的三個角轉移到一個平角或互補的情況中，讓學生從最原始的狀態了解數學、理解方法.在此基礎上探究四邊形的內角和，體現問題設計的有效性.

2.所設計的問題應貼近生活，成為體驗數學的一種工具.

長方形、正方形是學生所熟悉的圖形，貼近生活，能夠調動學生的主動性，達到解決問題的目的.

（二）探究性學習的有效性

1.創設有效的探究氛圍；2.構建有效的探究平臺；3.明晰有效的探究過程.探究四邊形內角和就是給學生探究問題的空間，通過合作與交流得出一般四邊形內角和的求證方法.所選取的點的位置不同，解題的方法也不同，學生通過積極思考點的位置關系，形成全體參與的平臺.

（三）對學生思維培養的有效性

1.精心設置懸念，促成思維定向；2.調動多種感官，推動思維訓練；3.強化整體訓練，培養雙向思維；4.發揮主導作用，把握思維方向.確定多邊形的內角和公式的方法仍然是解決四邊形問題的一種方法，讓學生從不同角度，不同渠道去思考、去探究，達到學習數學的目的.

整節課雖然讓學生通過動手操作體驗了多邊形內角和定理的形成過程，但在具體的課堂實施時還存在一些不足：1.本節課過多著眼于課堂形式的多樣化及學生能力（如合作、探究、交流等）的培養，而忽視了教學中最重要的知識點的落實.學生做練習題的機會不多，時間偏少.學生沒有板演的機會.2.雖然本著以學生為本的原則，但是沒有兼顧個體差異，基礎較弱的學生也許不能真正理解并運用多種方法求多邊形的內角和的思想.