單向證據沖突度量方法

王路，邢清華，毛藝帆

（空軍工程大學防空反導學院，陜西 西安 710051）

單向證據沖突度量方法

王路，邢清華，毛藝帆

（空軍工程大學防空反導學院，陜西 西安 710051）

針對傳統證據沖突度量方法無法表達證據間支持程度差異的問題，提出一種帶有方向性的證據沖突度量方法。該方法基于單向支持度間接計算證據間的沖突程度，單向支持度模型采用取小累加運算來表征兩證據觀點的一致程度，支持系數的引入保證了所建模型具有非對稱性。實驗結果表明所提方法不但能夠有效區分證據間支持程度的差異，而且還能克服傳統方法在特定情況下失效的問題。

Dempster-Shafer證據理論；方向；證據沖突；沖突度量

1 引言

證據理論由Dempster于1967年在研究統計問題時首次提出[1]，后經其學生Shafer推廣和發展[2]，成為系統化的不確定性推理理論，故又名Dempster-Shafer（D-S）理論。D-S理論具有在無先驗信息的條件下有效表達和處理不確定信息，并通過證據積累縮小假設集合的能力[3]，因而在數據融合[4]和決策分析[5]等領域得到廣泛應用。

在D-S理論的實際應用中，受客觀條件以及傳感器自身性能的影響，證據之間往往高度沖突，此時采用D-S理論進行證據合成，往往會得到反直觀結果。為解決這一問題，國內外大量外學者提出了改進方法，主要分為2類[6]：對組合規則的修改[7,8]和對證據源的修改[9]。但是無論何種方法，首先都需要確定證據之間是否存在沖突以及沖突程度大小，因而證據沖突度量方法成為關鍵。

現有證據沖突度量方法主要基于沖突系數[2]、Jousselme證據距離[10]、夾角余弦[11]、Pignistic概率距離[12]實現[13～20]。本文通過實例分析發現，采用沖突系數對完全相同的證據進行度量時，計算結果卻不為零，即存在沖突；采用證據距離對完全不同的證據進行度量時，結果卻不都為理論最大值 1，并且其大小還隨著基本概率賦值（BPA, basic probability assignment）分散程度的不同而改變；而余弦相似度在處理證據中包含非單子集焦元時不夠準確；Pignistic概率距離對不完全一致的2個證據進行度量，結果卻可能為1。

此外，典型沖突度量方法都具有對稱性，因而無法表達證據間相互支持程度的差異，針對此問題，文獻[21]基于Jousselme證據距離設計了非對稱證據沖突度量方法，但是并沒有解決證據距離失效的問題。

為解決現有沖突度量方法無法表達證據間相互支持程度的差異，并且會在特定情況下失效的問題，本文提出了一種新的證據沖突度量方法，實驗結果驗證了所提方法的有效性。

2 D-S理論

設Θ為待判決命題的所有可能答案構成的完備集合，Θ中元素兩兩互斥，則稱此互不相融事件的完備集合Θ為識別框架[22]，記為Θ ={θ1,… , θN}。識別框架所有子集組成的集合稱為Θ的冪集，用2Θ表示，其元素個數為。在識別框架的基礎上，證據理論定義了重要的基本概率指派函數，并制定了證據組合規則。

定義1 （基本概率指派）設Θ為一識別框架，A為Θ的子集，若映射m： 2Θ→ [0 ,1]滿足且 m(? )= 0，則稱m為Θ上的基本概率指派函數。信任函數Bel和似真函數Pl定義為

對于命題A，區間[B el( A), P l( A) ]構成信度區間，用于表示A發生的可能性，其中，Bel( A)表示對A的支持度的下界，Pl( A)表示對A支持度的上界，差值 Pl( A) ?Bel( A)表示對A的不確定程度。

D-S理論證據組合規則為

3 典型沖突度量方法分析

3.1 沖突系數

經典證據理論用k來表征證據間的沖突程度，其物理意義為分配給空集的概率指派，k值越大，沖突程度越大。由k的計算公式可以看出，沖突系數具有對稱性，即 k(m2) = k( m2, m1)，因此無法區分證據間相互支持程度的差異。

此外，沖突系數在使用時會出現失效的情況，即使完全相同的2條證據，其沖突系數大小也并非期望值零，如例1所示。

例 1 假設識別框架Θ ={θ1,θ2}，兩完全相同的證據體為

計算結果為k=0.5，與事實不符，可見，傳統沖突系數無法有效表征證據間的沖突程度。

3.2 Jousselme證據距離

證據距離由 Jousselme提出，原意是用來衡量一組代表分類結果的證據與一組表示真實解的證據之間的差異性[23]，其定義如下。

定義2 （Jousselme證據距離）假設識別框架為Θ，兩證據體的BPA為m1、m2，其矢量形式為m1、m2，則兩證據的Jousselme證據距離[10]為

其中，D為2N2N× 矩陣，矩陣中元素

由定義可以看出，證據距離同樣具有對稱性。而其失效的情況如例2所示。

計算結果為：對于情形1， dBPA= 0.707；對于情形2， dBPA= 0.577。可見即使完全不同的2個證據，其證據距離也并非理論最大值 1，并且其大小還與證據體的 BPA分散程度有關，BPA越分散，證據距離越小，這與邏輯分析結果相悖。

3.3 夾角余弦

定義3 （夾角余弦）設識別框架Θ ={θ1,…, θN}，兩證據體的BPA為m1、m2，其矢量形式為m1、m2，則兩證據的夾角余弦[11]為

其中表示向量的模。

相對證據距離，證據向量夾角余弦更加注重兩證據在方向上的相似程度，在具體沖突程度數值的度量上不如其他方法準確，如例3所示。

例3 假設識別框架Θ = {θ1,θ2,θ3}下兩證據體的BPA為

由兩證據體的BPA可見，兩證據有0.8的意見是一致的，其余0.2完全沖突，因此，證據相似度不應大于 0.8，但是兩證據的夾角余弦計算結果為c(m2) = 0.94，與分析結果不一致，相比而言，證據距離的計算結果為 dBPA= 0.2，與事實相符。可見，相比證據距離，夾角余弦的測量精度不夠準確。

此外，文獻[13]指出夾角余弦模型并不適合證據中包含非單子集焦元情況，并給出了夾角余弦修正模型如下

通過分析，修正模型同樣存在問題。由于式(8)首先將證據體m1與矩陣D結合，直接導致生成了新的證據體相對原始證據體，增加了多余的信息，最終導致度量結果不夠準確，如例4所示。

例 4 假設識別框架Θ ={θ1,θ2}下 2條證據的BPA為

根據式(6)～式(8)可得 c′( m1,m2) = 0.2，表明兩證據不完全沖突，與事實不符。

3.4 Pignistic概率距離

定義 4 （Pignistic概率距離）設識別框架Θ= {θ1,… ,θN}，兩證據體的BPA為m1、m2，則兩證據體的Pignistic概率距離為

Pignistic概率距離在對2個不同的證據進行度量時會出現如例5所示問題。

例 5 假設識別框架Θ ={θ1,θ2}，兩證據體的BPA如下。

通過計算，兩證據的 Pignistic概論距離difBe= 0，表明兩證據沒有任何沖突，完全一樣，這與事實不符。此外，第4節仿真結果同樣表明，Pignistic概率距離在進行沖突度量時不夠準確。

4 單向沖突度量方法

通過對傳統沖突度量方法的分析可以發現，傳統沖突度量公式都具有對稱性，即證據1對證據2的不支持程度與證據 2對證據 1的不支持程度相等，但真實的情況是：不確定度小的證據對不確定度大的證據的支持程度應該大于不確定度大的證據對不確定度小的證據的支持程度，如例6所示。

例 6 假設識別框架Θ ={θ1,θ2}，兩證據體的BPA如下。

根據式(1)和式(2)可得，證據1中θ1的信度區間為[1,1]，θ2的信度區間為[0,0]，即證據1完全支持θ1，完全否定θ2；證據2中θ1的信度區間為[0,1]，θ2的信度區間同樣為[0,1]，即對于命題θ1和θ2，證據2都完全不確定。此外，根據邏輯分析同樣容易發現：證據1的不確定度要小于證據2的不確定度。在此，對兩證據相互支持程度的差異進行分析。

證據1的完全表達為： m1(θ1)=1， m1(θ2)=0，m1(Θ ) = 0，由于 m1(Θ) = 0，因此證據 1不存在不確定性，其基本概率賦值為貝葉斯BPA，將其從冪集空間投影到概率空間后，其概率分布為p1(θ1) =1、 p1(θ2)=0，又因為θ1與θ2互斥，可得再將p1(Θ)轉化到冪集空間，可得 m1′(Θ) = 1，即證據1通過轉化可以得到證據2；但是證據2無法通過轉化得到證據1，可見證據1對證據2的支持程度應該更大，即不確定度低的證據應該更加支持不確定度高的證據。

定義5 （單向支持度）設識別框架為Θ ={θ1,… ,θN}，兩證據體的BPA為m1、m2，則證據1對證據2的單向支持度計算式為

其中，dij′為支持系數，表示命題iA對命題Aj的支持程度，計算式為

證據單向支持度滿足以下3條準則：

上述 3條準則的證明較為簡單，在此做簡要論述。對于準則1)，令則式(10)中分子可寫為因此只需證又 由 式(8)可 知= 1， 并 且顯然成立，準則 1)證畢；對于準則 2)，當可得又因為可得 m1=m2，準則 2)的必要性易證，在此省略；準則3)的充分性證明：由于 s( m1m2) = 0，可得式(10)分子為零，可得對于任意命題，可得 s( i, j) di′j= 0，即證據 1與證據 2無相交不為空的焦元，即(∪ Ai) ∩(∪ Bj)=? ，必要性易證，在此省略。

在證據支持度定義的基礎上，證據1對證據2的不支持度，即證據1對證據2產生的沖突大小可通過公式 1 ? s( m1m2)得到。

5 算例分析

實驗 1 主要用于驗證該方法能夠克服傳統方法在某些情況下失效的問題。

對 于 例 1， 計 算 結 果 為 1 ? s( m1, m2) = 0，1 ? s( m2, m1) = 0，表明兩證據無沖突，與事實相符。

對于例 2，不同情形下的計算結果同為1 ? s( m1, m2) =1 ? s( m2, m1) = 1，表明兩證據完全沖突，且都達到期望的理論最大沖突值1，與事實相符。

對 于 例 3， 計 算 結 果 為 s( m1, m2) = 0.8，s( m2, m1) = 0.8，與證據距離計算結果一致。

對 于 例 4， 計 算 結 果 為 s( m1, m2) = 0.4，s( m2, m1) = 0.333，表明兩證據是有區別的，與分析結果一致。

對于例 5，計算結果為 s( m1, m2) =0，s( m2,m1) = 0，表明兩證據完全沖突，與分析結果一致。

可見，所提方法能夠有效克服傳統方法在某些情況下失效的問題。

實驗 2 主要用于驗證所提方法能夠有效區分證據間相互支持程度的差異。

假設識別框架Θ = {θ1,θ2,… ,θ20}，兩證據體的BPA為 m1(θ2∪θ3∪θ4)=0.05，m1(θ7)=0.1，m1(Θ)=0.05， m1(Α) = 0.8； m2(θ1∪θ2∪θ3∪θ4∪ θ5)=1，命題Α按{θ1}，{θ1∪θ2}，{θ1∪θ2∪θ3}，…，{θ1∪ θ2∪…∪ θ20}的規律變化。圖1給出了使用不同的證據沖突度量方法，兩證據的沖突程度大小隨的變化情況。

由圖1所示結果可以看出，沖突系數的值恒為0.1，無法反映的變化對兩證據沖突程度的影響；1 ? c′ 、dBPA、1 ?s( m1, m2)、1 ? s( m2, m1)、difBetP的變化趨勢一致，c′為式(8)所表示的修正夾角余弦，由于1 ? c′提前對進行預處理，為證據增加了多余的信息，導致測量結果與事實不符，dBPA雖然能夠區分兩證據的沖突大小，但是無法區分誰對誰支持更多，Piginistic概率距離對=4與= 5的度量 結 果 一 致 ， 即 無 法 區 分{θ1∪θ2∪θ3∪ θ4}與{θ1∪ θ2∪ θ3∪ θ4∪ θ5}的區別，不夠準確；相比而言， 1 ?s( m1,m2)、1 ? s( m2, m1)的變化趨勢證據體現了證據之間支持程度的差異，在[1 ,5]的范圍內，Α? {θ1∪ θ2∪ θ3∪ θ4∪ θ5}，證據 1的不確定性更小，所以證據1對證據2的支持程度更大，從而證據1對證據2產生的沖突更小，此分析結果與圖1所示一致，在[5 ,20]的范圍內， {θ1∪ θ2∪ θ3∪ θ4∪θ5}?Α，證據2對證據1產生的沖突更小；當Α為 5時，Α與m2的焦元完全一致，證據間的沖突程度突然降為最低，并且變化幅度最大，這也充分說明了只有當 Α={θ1∪ θ2∪…∪ θ5}時，才可認為兩證據對此命題的觀點達成一致，而其他情況，即便Α與m2的焦元再接近，如{θ1∪ θ2∪ θ3∪ θ4}，都應認為其為2個不同的命題，可見，1?s的變化情況與邏輯分析更為一致。綜上所述，本文所提算法不但能夠解決傳統度量方法存在的問題，而且能夠準確、有效地表征證據之間的單向沖突程度。

圖1 不同方法下證據沖突大小隨A變化情況

實驗 3 主要用于驗證所提證據沖突度量方法在代替傳統沖突度量方法進行證據合成時是否能夠得到較好的結果。

假設存在一多傳感器構成的目標綜合識別系統，空中待識別目標真實類型為θ1，識別框架Θ ={θ1,θ2,θ3}，4個相互獨立傳感器給出的證據如下

分別應用不同的組合方法對此例進行組合并對比分析，其中，本文證據合成方法流程與 Deng等[20]所提出的流程一致，只是將其所使用的證據距離替換為本文所提沖突度量方法，結果如表1所示。

表1 不同方法融合結果比較

由表1所示結果可以看出，使用Dempster基本組合規則進行證據合成時，受0-1悖論的影響，證據組合結果都為 m(θ1) = 0，與事實不符；文獻[20]的方法通過分析證據間的關系（計算證據距離），得到證據權重，當證據體m3出現后，其方法能夠正確識別目標；本文所使用的證據合成方法沿用文獻[20]方法的證據合成流程，只是在度量證據沖突時使用本文所提沖突度量方法代替了證據距離，從合成結果可以看出，當只有證據體m1與m2時，合成結果與文獻[20]方法一致，當證據體m3出現后，本文方法以更快的收斂速度支持θ1，可見，本文證據沖突度量方法具有很好的實用性。

6 結束語

本文提出了一種新的證據沖突度量方法，該方法基于單向支持度間接計算證據間的沖突程度。實驗結果表明，所提方法不但能夠克服傳統證據沖突度量方法（沖突系數、證據距離以及證據向量余弦相似度）會在某些情形下失效的問題，而且能夠使證據沖突的度量具有方向性，即能夠區分證據間誰更支持誰。

本文在仿真最后一部分對所提證據沖突度量方法在證據合成時的有效性進行了簡單驗證，基于本文所提證據沖突度量方法設計更加合理的證據組合方式將是下一步的重點研究方向。

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Directional evidence conflict measurement approach

WANG Lu, XING Qing-hua, MAO Yi-fan
(School of Air and Missile Defense, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Aiming at the problem that traditional evidence conflict measurement approaches can not express the difference of mutual support degrees between evidences, a directional evidence conflict measurement approach was proposed.The conflict degree of evidences could be measured based on the new defined directional support degree, which imported the support coefficient to make the model dissymmetrical. Simulation results show that the proposed method can not only express the difference of mutual support degrees between evidences, but also solves the problem that traditional approaches work poorly under special situation.

Dempster-Shafer evidence theory, direction, evidence conflict, conflict measure?

The National Natural Science Foundation of China (No.61272011)

TP391

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016143

2015-11-23；

2016-06-08

國家自然科學基金資助項目(No.61272011)

王路（1987-），男，陜西三原人，空軍工程大學博士生，主要研究方向為高超聲速飛行器防御關鍵問題。

邢清華（1966-），女，山西文水人，空軍工程大學教授、博士生導師，主要研究方向為防空反導作戰建模與仿真。

毛藝帆（1988-），女，陜西三原人，空軍工程大學博士生，主要研究方向為反導預警多源信息融合。