準均勻B樣條曲面重建的誤差分析與改進方法

李夢嬌, 袁 晶, 杜 娜, 吳麗娟

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

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準均勻B樣條曲面重建的誤差分析與改進方法

李夢嬌, 袁 晶, 杜 娜, 吳麗娟

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

由于在逆向工程,以及平面幾何設計中的廣泛應用,曲面重建技術成為了目前科研領域中的重要課題,并實際應用于工農產業設計和計算機圖像處理等有關領域。為了滿足準均勻B樣條曲面的端點性質,采用了四重節點端點的固支條件解決了曲面網格端點不與控制網格端點重合的弊端,并選取已經型值點對曲面模型進行反算控制點操作。最后,針對反算后生成曲面不能很好的逼近于原始曲面問題,提出了曲面端點和內節點同時提取并作為數據點的改進方法,完善了重構曲面的質量。通過與原始正向生成曲面的比較,說明該算法正確,精度高,方便可靠,較好地適應了逆向工程技術中的實際需要。

B樣條曲面; 逆向工程; 曲面重建

0 引 言

隨著計算機領域的不斷發展,逆向工程技術已經發展到突飛猛進的階段,傳統的Bezier曲線或曲面存在著計算量大,不能作局部修改等特點,B樣條方法是在保留了貝齊爾方法優點的基礎上,對其原始方法所缺乏的局部性質進行了改良,并且解決了對復雜形狀描述時所帶來的連接問題。由于B樣條曲面所特有的局部支撐性、連續性和幾何不變性,所以與Bezier方法相比,B樣條曲面方法更好地解決了曲面的重建問題,因此,B樣條曲面造型技術被廣泛的應用于工業產品設計中,并且成為了當今最廣泛流行的形狀數學描述的主流方法。

隨著計算機軟件的逐步更新,CAD/CAM已成為新的名詞出現在計算機領域,傳統的CAD/CAM技術包括:概念設計、CAD建模、設計程序、和數據加工4個步驟完成,但傳統的原件生產存在著計算效率低、精度差等特點,而逆向工程技術恰與傳統技術相反,它包括:數據采集、數據處理、曲線曲面擬合和CAD模型重建4步,有效的克服了以往的缺點,實現了高速、高效和高精度的運作與生產,更好地滿足了人們實際生產與科研的需要。

1 B樣條曲線與曲面

B樣條曲線的定義:

(1)

其中:pi(i=0,1,…,n)為控制頂點集;Ni,k(t)為k階B樣條基函數。利用選定控制頂點,以及已知B樣條基,生成均勻B樣條曲線與準均勻B樣條曲線,如圖1所示。

(a)—均勻曲線; (b)—準均勻曲線。

B樣條曲面是由多條B樣條曲線在u、v這2個方向上多次構建形成的,2個方向的參數方向節點矢量分別為U=[u0,u1,…,um+p]和V=[v0,v1,…,vn+q],B樣條曲面的方程定義為

(2)

其中:Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)為控制頂點集;Ni,p(u)和Nj,q(v)為B樣條曲面基函數,由deBoor-Cox公式推導得出。B樣條曲面示意圖如圖2所示。

(a)—均勻曲線; (b)—準均勻曲線。

2 B樣條曲面的性質

B樣條曲面是由多條B樣條曲線構成, 所以B樣條曲面具有與B樣條曲線相同的性質, 具體如下:

1) 局部性

由于B樣條曲面的每個控制點最多影響3個節點區間的線段,所以對于k階B樣條曲面來說,改變其中第i個控制點,只影響定義區間(ti,ti+k)上的曲線形狀,對其他部分不發生影響。

2) 凸包性

B樣條曲線或曲面的部分區間位于對應的控制網格的凸包內,整個曲面在凸包ci的并集內。

3) 連續性

在節點向量t的取值范圍內,前后2段曲線之間能實現光滑過度,構成曲面的曲線具有ck-2連續性。

4) 幾何不變性

生成的B樣條曲面只與控制點或控制多邊形的形狀有關,與坐標選取無關。

總之,B樣條方法生成的曲面易于控制,操作簡單,幾何性質好,且B樣條曲線插值的方法,光滑效果比較好,用B樣條方法擬合曲線時,精度值高,計算速度快。

3 B樣條曲面的反算

基于已知控制點或控制網格,就可以對曲線和曲面進行正向生成,但若對生成的已知曲面的形狀有不滿意之處,需要改進時,就需要調整控制點,從而影響該控制點所對應的曲面,達到曲面的修改目的,直至獲得滿意的結果。因此,通過曲面的反算,反求曲面控制點成為該領域的必修課題之一。

3.1 反算三次B樣條插值曲線的控制頂點

首先,確定節點矢量。當插值曲線為準均勻開曲線時,應取四重節點端點的固支條件,將首末節點的重復度取為4,即r=4,則有

(3)

(4)

其中

利用追趕法解之,即可求出全部n+3個控制頂點。

3.2 反算三次準均勻B樣條曲面的控制頂點

三次B樣條曲面的反算可轉化為2個方向的B樣條曲線反算方法,由平均技術,每個參數方向的節點矢量取成該參數方向參數值的平均,如式(5)、式(6)

(5)

(6)

通過2次調用曲線反算函數,分別算出u,v這2個方向上的所有控制點。最后,由準均勻B樣條基生成B樣條曲面。反算后對雙控制點生成的曲面與原始曲面,如圖3所示。

(a)—原始曲面; (b)—反算生成的曲面。

由圖3、圖4可以看出,反算后生成曲面與原始曲面存在較大誤差,主要表現在邊緣內節點不能很好的逼近原始成員線,造成整體形狀失真,同時也給實際生產帶來必不可少的影響。因此,為滿足更精確的逆向工程計算,減小誤差,本文對該問題進行了優化處理。

3.3 優化改進

由于反算后內節點與原始節點值存在較大誤差,本文在對邊界數據點提取的基礎上,利用正向生成函數輸出所有數據點值。通過計算與比較曲面數據點之間的位置關系,找到曲面端點與內節點平分點,去掉附近重復點,均勻提取曲面內節點。

根據均勻提取的9個數據點,把每條曲線上的n+2個數據點反向生成n+4個控制點,整個曲面由9個數據點反求出25個控制頂點。在改進后,曲面隨即由單一段變成多段,再經過對算法改進與設計,由2層或多層循環控制多段曲面,最后,根據準均勻B樣條曲面的性質,把不同的B樣條基分別帶入三次準均勻B樣條曲線方程,隨即生成更為精確的B樣條曲面。改進后曲面與之前曲面對比如圖4所示。

(a)—改進前曲面型值點與原始曲面對比; (b)—改進后曲面型值點與原始曲面對比。

由圖4(a)、圖4(b)可以看出,改進后B樣條曲面更接近于原始曲面,計算更為精確可靠,減小了誤差。表1、表2為改進后生成曲面控制點與原始曲面控制點對比。

表1 改進后生成曲面控制點

表2 原始曲面控制點

4 結 論

本文在對逆向工程技術的現狀進行了論述的基礎上,分析和論證了曲面重建關鍵技術的研究與實現對科研工作的影響。綜合闡述了B樣條曲面的的生成原理,并實際選取控制點和利用B樣條基進行了實際操作,在展示了最終生成圖像的基礎之上,區分均勻B樣條曲面和準均勻B樣條曲面的不同,從而突出本文選題立場。最后,分析和論證了曲面的重構原理與方法,并對曲面片的拼接技術進行了研究。

在綜合論述了B樣條曲面生成原理和曲面反算理論的基礎之上,設計了基于型值點反求控制點生成準均勻B樣條曲面的算法,并給出運行結果,解決了通過曲面反算所生成的曲面與原始曲面存在較大誤差問題,使反算后控制點更好的逼近于原始控制點,反算后生成的B樣條曲面更接近于原始曲面,減少了誤差,增加了曲面擬合的精確性,最后,在vc++2008編譯環境下,對算法進行了編譯調試,給出了運行成果,證明了該算法真實可靠,能較好的滿足于實際科研需要,并為日后的逆向工程技術的研究打下良好基礎。

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B-spline surface reconstruction research and implementation of key technologies

LIMengjiao,YUANJing,DUNa,WULijuan

(College of Physics Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Due to the wide application of surface reconstruction technology in reverse engineering, and as well as planar geometric design, surface reconstruction technology has become an important issue in the field of scientific research, aAnd it is a pplied in industrial design and computer image processing and so on. In order to meet the endpoints of quasi uniform B spline surface properties, . The disadvantages of coincidence between the four node endpoint are fixed to solve the disadvantages with that the end point of is not coincident with the control grid was solved. And The have type values points were taken for the back calculation control points on surface model in the for operation, and finally, in order to solve the problem view of the back calculation after generating surface after back calculation not being cannot be well a good approximation to the original surface problem, that is surface an improvement method for reconstruction surface was suggested with extraction of the endpoints and inside points are extracted at same time, improve the quality of the reconstructed surface, By comparing with the original generating surface, the algorithm is correct, high precision, convenient and reliable, and can be used in the actual needs of reverse engineering technology.

B spline surface; reverse engineering; surface reconstruction

2015-12-31。

遼寧省科技廳自然科學基金資助項目(201102205)。

李夢嬌(1990-),女,吉林白城人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者: 吳麗娟(1964-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學教授,博士。

1673-5862(2016)02-0217-05

TP391

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.02.019