對側步馬前肢運動軌跡數學模型建立與分析

姚芳芳，孟軍，曾亞琦，姚新奎，王東，王歡，張亞昂，孔麒森，程潔，馬立山，張弦

(新疆農業大學動物科學學院，烏魯木齊 830052)

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對側步馬前肢運動軌跡數學模型建立與分析

姚芳芳，孟軍，曾亞琦，姚新奎，王東，王歡，張亞昂，孔麒森，程潔，馬立山，張弦

(新疆農業大學動物科學學院，烏魯木齊 830052)

【目的】對側步馬不同模型和階次前肢運動軌跡曲線擬合效果進行分析研究，為側步馬性能測定提供參考。【方法】基于馬匹運動軌跡曲線的特點，采用Matlab軟件中Cftool工具箱分別獲取多項式擬合模型、高斯擬合模型和傅里葉擬合模型擬合方程式，并對擬合情況進行比較。【結果】傅里葉三階和高斯三階函數模型對側步馬肩關節、腕關節擬合效果極顯著優于多項式模型(P<0.01)；傅里葉三階函數模型對側步馬前蹄擬合效果極顯著優于高斯和多項式函數模型(P<0.01)；傅里葉四階函數模型對前飛節擬合效果顯著優于高斯和多項式函數模型(P<0.01)；傅里葉四階和高斯四階函數模型對肘關節擬合效果顯著優于多項式函數模型(P<0.01)。【結論】肩關節和腕關節最優擬合模型為傅里葉三階和高斯三階函數擬合模型；肘關節最優擬合模型為傅里葉四階和高斯四階函數模型；前飛節最優擬合模型為傅里葉四階函數模型；前蹄最優擬合模型為傅里葉三階函數模型。

對側步馬；運動軌跡曲線；數學模型；擬合精度

0 引 言

【研究意義】馬匹與人體一樣，是一個形體與結構組織都非常復雜的生命系統，運動生物力學研究的正是該生命系統的運動規律[1]，而運動參數與競爭性能息息相關[2]，通過測量馬匹的運動參數來預測馬匹的運動性能潛力是馬匹運動生物力學的一個重大難題。一些專業的騎師和訓練師們認為評估馬匹近心端的肢體構象和運動是評估馬匹前肢運動性能至關重要的元素。【前人研究進展】生物力學研究在人的運動參數方面已經有了較為長足的研究，并建立各類數據庫，為人體運動訓練[3]、下肢運動模擬[4-5]及人體肢體康復[6]提供強有力的基礎保障，并且近30年以來，研究者從不同角度提出了多種預測上肢伸展姿勢的方法[7]。【本研究切入點】在馬匹運動性能方面的研究，目前主要集中在速度、體型結構、步法特征方面和肢體角度變化方面的研究，目前國內只有孟軍[8]做過初步研究。缺少相關研究的主要原因是在馬匹運動過程中角度難以測量、數據難以獲取，但隨著運動捕捉技術日漸完善，目前已經可以解決這一問題。【擬解決的關鍵問題】數學模型的建立既能有效地反映出運動過程一般變化趨勢，又能最大程度地排除隨機誤差的干擾。通過數學模型的建立可以進一步的解決馬匹訓練和性能測定的量化這一難題。通過研究可以為對側步馬匹的性能測定提供數據支持。

1 材料與方法

1.1 材 料

研究對象為17匹對側步型成年速步馬。

1.2 主要設備

所用的器材有：JVC-PX100、Kwon3D XP。

1.3 方 法

1.3.1

速步賽時，在馬匹行進路線左側直道處架設1臺高速攝像機，用于采集比賽視頻和Kwon3D XP標尺視頻，JVC-PX100幀速率為50f/s，快門速度為1/1000s，用以獲取馬匹運動狀態運動軌跡各坐標點相關數據。

1.3.2 數據處理

使用Kwon3D XP三維運動采集軟件對視頻進行數字化處理，得到運動軌跡各坐標點數據；使用Excel整理并統計數據；用Matlab2013a的Cftool工具箱進行函數擬合。研究中所應用的數據是多個不同個體馬匹左前肢體一個完整運動一個周期(即馬匹前肢第一次即將離地到第二次即將離地)運動軌跡坐標為數據，進行函數擬合，以便驗證不同馬匹間的運動軌跡曲線是否具有一直規律性。

1.3.3 模型分析

選擇多項式函數擬合模型、高斯函數擬合模型和傅里葉函數擬合模型對馬匹左前肢肩關節、肘關節、腕關節、前飛節和前蹄五個關節點的運動軌跡曲線進行擬合分析，根據擬合度(R2)越大越好和均方差RMSE越小越好的原則確定最佳關節點運動軌跡曲線模型和階次。

1.3.3.1 傅里葉函數模型

1.3.3.2 高斯函數模型：

f(x)=ae-(x-b)2/C2.

1.3.3.3 多項式函數模型：

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x+a0.

2 結果與分析

2.1 不同函數擬合模型及階次對肩關節運動軌跡曲線的擬合效果

考慮到曲線擬合時的簡并性、優化性和精準度的原則，研究對各馬匹前肢各關節點的運動軌跡曲線進行擬合，研究過程中對多項式函數、高斯函數和傅里葉函數及其二階、三階和四階函數進行比較，選取最優擬合模型及階次。不同方程擬合模型及不同模型階次對肩關節運動軌跡曲線的擬合系數(R2)和均方差(RMSE)均有極顯著影響(P<0.01)。表1

對肩關節運動軌跡曲線的擬合過程中傅里葉函數模型及高斯函數模型的R2和RMSE均極顯著優于多項式函數(P<0.01)；三階和四階的R2和RMSE之間無顯著差異性(P>0.05)，但極顯著優于二階的R2和RMSE(P<0.01)。表2

表1 不同擬合模型及階次對肩關節運動軌跡曲線的最小二乘方差分析Table 1 table Analysis of Least-squares variance of different fitting model and order of shoulder joint trajectory curve

注：同列，*表示顯著影響(P<0.05)，**表示極顯著影響(P<0.01)。下同

Note: In the same column, “*” are significantly different (P<0.05), “**”are greatly significantly different (P<0.01). The same as below

表2 不同擬合模型及階次對肩關節運動軌跡曲線的擬合參數Table 2 The fitting parameters of different fitting model and order of shoulder joint trajectory curve

注：同列肩標不同小寫字母之間差異顯著(P<0.05)，不同大寫字母之間差異極顯著(P<0.01)。下同

Note: In the same column, with different super scripts lower case are significantly different(P<0.05)，Values with different supers cripts capital letters are greatly significantly different(P<0.01). The same as below

2.2 不同擬合模型及階次對肘關節運動軌跡曲線的擬合效果

不同方程擬合模型及不同模型階次對肘關節運動軌跡曲線的擬合系數(R2)和均方差(RMSE)均有極顯著影響(P<0.01)。表3

對肘關節運動軌跡曲線的擬合過程中傅里葉函數模型及高斯函數模型的R2和RMSE極顯著優于多項式函數(P<0.01)；二階、三階和四階函數的R2和RMSE之間存在極顯著差異性，且四階函數的R2和RMSE極顯著優于二階和三階函數(P<0.01)。表4

表3 不同擬合模型及階次對肘關節運動軌跡曲線的最小二乘方差分析Table 3 Analysis of Least-squares variance of different fitting model and order of elbow joint trajectory curve

表4 不同擬合模型及階次對肘關節運動軌跡曲線的擬合參數Table 4 The fitting parameters of different fitting model and order of elbow joint trajectory curve

2.3 不同函數擬合模型及階次對腕關節運動軌跡曲線的擬合效果

不同方程擬合模型對腕關節運動軌跡曲線的擬合系數(R2)和均方差(RMSE)均有極顯著影響(P<0.01)；不同方程擬合模型階次對腕關節運動軌跡曲線的擬合系數(R2)影響顯著(P<0.05)，對均方差(RMSE)影響極顯著 (P<0.01)。表5

在對腕關節運動軌跡曲線的擬合過程中傅里葉函數模型及高斯函數模型的R2和RMSE極顯著優于多項式函數(P<0.01)；對于不同模型階次R2之間，二階和三階函數之間無顯著差異(P>0.05)，三階與四階函數之間無顯著差異(P>0.05)，但四階與二階函數之間存在顯著差異(P<0.05)，四階優于二階函數；不同模型階次RMSE之間，三階與四階函數之間無顯著差異(P<0.05)，但均極顯著優于二階函數(P<0.01)。表6

表5 不同擬合模型及階次對腕關節運動軌跡曲線的最小二乘方差分析Table 5 Analysis of Least-squares variance of different fitting model and order of wrist joint trajectory curve

表6 不同擬合模型及階次對腕關節運動軌跡曲線的擬合參數Table 6 The fitting parameters of different fitting model and order of wrist joint trajectory curve

2.4 不同擬合模型及階次對前飛節運動軌跡曲線的擬合效果

不同方程擬合模型和方程擬合模型階次對前飛節運動軌跡曲線的擬合系數(R2)和均方差(RMSE)均有極顯著影響(P<0.01)。表7

在對前飛節運動軌跡曲線的擬合過程中傅里葉函數模型與高斯函數模型和多項式函數的R2和RMSE之間存在極顯著差異，且傅里葉函數的R2和RMSE均極顯著優于高斯函數和多項式函數(P<0.01)；對于不同模型階次R2和RMSE之間，二階、三階和四階函數之間存在極顯著差異(P<0.01)，且四階的R2和RMSE均極顯著優于二階和三階函數(P<0.01)。表8

表7 不同擬合模型及階次對前飛節運動軌跡曲線的最小二乘方差分析Table 7 Analysis of Least-squares variance of different fitting model and order of fetlock joint trajectory curve

表8 不同擬合模型及階次對前飛節運動軌跡曲線的擬合參數Table 8 The fitting parameters of different fitting model and order of wrist joint trajectory curve

2.5 不同擬合模型及階次對前蹄運動軌跡曲線的擬合效果

不同方程擬合模型和方程擬合模型階次對前蹄運動軌跡曲線的擬合系數(R2)和均方差(RMSE)均有極顯著影響(P<0.01)。表9

在對前蹄運動軌跡曲線的擬合過程中傅里葉函數模型與高斯函數模型和多項式函數的R2和RMSE之間存在極顯著差異，且傅里葉函數的R2和RMSE均極顯著優于高斯函數和多項式函數(P<0.01)；對于不同模型階次R2和RMSE之間，三階和四階函數之間無顯著差異(P<0.01)，但四階的R2和RMSE極顯著優于二階函數(P<0.01)，四階的R2和RMSE顯著優于二階函數(P<0.05)。表10

表9 不同擬合模型及階次對前蹄運動軌跡曲線的最小二乘方差分析Table 9 Analysis of Least-squares variance of different fitting model and order of forehoof trajectory curve

表10 不同擬合模型及階次對前蹄運動軌跡曲線的擬合參數Table 10 The fitting parameters of different fitting model and order of forehoof trajectory curve

3 討 論

3.1 最佳運動軌跡曲線擬合模型的選擇

數學模型的建立能有效地反映實驗室數據的一般趨勢變換，還能在最大程度上排除誤差干擾，便于量化馬匹在運動過程中的實時變化。多項式是由多個單項式組成的簡單的連續函數，其圖形為一條平滑的曲線，用多項式擬合肢體運動軌跡曲線往往較高階次的函數才能達到理想的擬合度。高斯函數[9]的曲線圖形類似于正態分布，要求拐角兩側基本對稱，而傅里葉函數[10]圖形類似正余弦函數，兩端有周期延伸趨勢。

研究表明，不同方程擬合模型及不同擬合模型的階數對馬匹前肢各關節運動軌跡曲線擬合具有很大影響。對各馬匹前肢的前蹄、前飛節、腕關節、肘關節、肩關節運動軌跡研究中比較了多項式函數、高斯函數和傅里葉函數三種擬合模型的擬合效果，從中選取各關節點運動估計曲線最適合的數學函數模型。研究表明，總體上傅里葉函數擬合的相關系數R2略大，RMSE更趨近于0，但是，在肩關節和腕關節的曲線擬合中傅里葉與高斯函數模型無顯著差異，在肘關節的曲線擬合中高斯函數擬合與傅里葉函數擬合差異性不顯著，即表明這三個點用兩種方法擬合均可。但是孟軍[8]在他的研究中表明，傅里葉函數的參數與速度的相關性較高斯函數高，且傅里葉函數更能反映速步運動的實際運動規律。在前飛節的運動軌跡曲線擬合中傅里葉函數的擬合結果優于其他的擬合模型及階次。在前蹄的運動軌跡曲線擬合中傅里葉函數的擬合結果優于其他的擬合模型及階次。傅里葉函數擬合模型的擬合效果優于高斯函數擬合模型，其原因之一在于傅里葉函數的平移性質，Fω0(ω)=F(ω-ω0)，即Fω0(ω)=可由F(ω)向右平移ω0得到，高斯函數的主要特征之一是對稱性，馬匹肢體末端的關節點移動位移范圍廣，運動狀態復雜，導致用高斯函數擬合模型效果不佳，而實際上馬匹運動就可以看著是一個個運步周期疊加而成，所以傅里葉函數比高斯函數更能反映馬匹運動的實際狀態。因此，在以后的實踐過程中可采用傅里葉函數模型和高斯函數擬合模型擬合肩關節和腕關節的運動軌跡曲線；采用傅里葉和高斯函數模型擬合肘關節運動軌跡曲線；采用傅里葉函數模型擬合前飛節運動軌跡曲線；采用傅里葉函數模型擬合前蹄運動軌跡曲線。

3.2 最佳運動軌跡曲線擬合模型階次的選擇

研究對各馬匹前肢的前蹄、前飛節、腕關節、肘關節、肩關節運動軌跡研究中比較了多項式函數、高斯函數和傅里葉函數三種擬合模型不同階次的擬合效果，從中選取各關節點運動軌跡曲線擬合最優的數學函數模型及階次。根據曲線擬合誤差的有關理論[11]，曲線擬合效果由擬合精度和均方差控制，擬合精度越趨近于1、均方差越趨近于0，擬合效果越好。

研究結果中可發現，各關節點不同擬合模型的R2值均是擬合階次越高擬合系數越高，均方差RMSE越小，但是在肩關節、腕關節和前蹄的運動軌跡曲線擬合中三階與四階函數無顯著差異(P>0.05)，均方差RMSE也無顯著差異(P<0.05)，根據曲線在軌跡規劃和生產應用中的優化設計等情況[12]，應選用擬合系數和均方差都無顯著差異的三階函數，此觀點與王宏、趙長寬等人[13]研究人類手指運動軌跡觀點一致，故在擬合肩關節、腕關節和前蹄的運動軌跡曲線時應選用三階函數模型。在肘關節和前飛節的運動曲線擬合過程中四階的擬合系數R2和均方差RMSE顯著優于三階函數和二階函數的擬合效果，故在擬合肘關節和前飛節的運動軌跡曲線時應采用四階函數模型。

4 結 論

通過對對側步馬匹前肢肩關節、肘關節、腕關節、前飛節和前蹄的運動軌跡進行的分析和研究，建立了便捷的測定馬匹肢體運動軌跡的方法，并通過MATLAB軟件中的Cftool工具箱擬合算法，得到了馬匹前肢五個關節點的最優運動軌跡曲線擬合模型和階次，得出了馬匹前肢肩關節和腕關節最優擬合模型為傅里葉三階和高斯三階函數擬合模型，肘關節最優擬合模型為傅里葉四階和高斯四階函數模型，前飛節最優擬合模型為傅里葉四階函數模型，前蹄最優擬合模型為傅里葉三階函數模型的結論，為以后馬匹性能測定、建立馬匹肢體運動軌跡模型、仿真運動機器馬的優化設計提供了條件。

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Fund project:Supported by Major Projects of Science and Technology, Department of Xinjiang Uygur Autonomous Region (Horse Key Technology Research and Demonstration (for Sport, Meat and Milk) (No.201130101); National Support Program for Science and Technology: Research and Integration of Key Technologies of High Quality Sport Horse Breeding (No.2011BAD28B06); National Support Program for Science and Technology: Study on Cultivation and Breed Propagation Technology and Integrated Demonstration of Speedy, Milk and Endurance New Horse Breed (2012BAD44B00)and Graduate student research innovation project "Relationship between gait characteristics and motor performance of the young trot Horse" (No. XJAUGRI2015005)

Mathematical Model Establishment and Analysis of Forelimb Trajectory for Horse in Pacing

YAO Fang-fang，MENG Jun，ZENG Ya-qi，YAO Xin-kui，WANG Dong，WANG Huan，ZHANG Ya-ang，KONG Qi-sen，CHENG Jie，MA Li-shan，ZHANG Xian

(College of Animal Science, Xinjiang Agricultural University, Urumqi 830052, China)

【Objective】 The purpose of this project is to analyze and study the fitting effect of different models and the steps of the front limb movement trajectory curve of the lateral horse in order to in order to provide a reference for the horse performance measurement.【Method】This paper was based on the horses' characteristics of the trajectory curve, and Cftool toolbox in Matlab software was adopted to get three times polynomial fitting model, Gaussian function fitting model and Fourier function fitting model fitting equations, and the fitting condition were compared.【Result】The results showed that there was no difference at fitting effect in Fourier third-order function model and Gaussian third-order function model for pacing horses at shoulder and elbow joints(P>0.05), but they were all better than polynomial model (P< 0.01); Fourier third-order function model was significantly better than Gaussian function model and polynomial model (P< 0.01) at forehoof fitting; For the fetlock joint, fitting situation at Fourier forth-order function were superior to the Gaussian third-order function and polynomial fitting model (P< 0.01); For the elbow joint, Fourier and Gaussian model fourth-order function model, the fitting effect was significantly better than polynomial function (P< 0.01).【Conclusion】Shoulder and wrist joint optimal fitting model is Fourier and Gaussian third-order function fitting model; Elbow joint optimal fitting model is Fourier and Gaussian forth-order function model; fetlock joint optimal fitting model is Fourier forth-order function model; Forehoof optimal fitting model is Fourier third-order function model.

pacing horse ; trajectory curve; mathematical; fitting precision

10.6048/j.issn.1001-4330.2016.08.026

2016-03-30

新疆維吾爾自治區科技廳重大專項“馬(運動、肉用、乳用)生產關鍵技術研究與示范”(201130101)；國家科技支撐計劃項目“優質運動馬培育生產關鍵技術研究與集成示范”(2011BAD28B06)；國家科技支撐計劃項目“速步、乳用、耐力馬新品種(系)培育及良種擴繁技術研究與集成示范”(2012BAD44B00)；2015年新疆農業大學研究生科研創新項目“青年速步馬步態特征與運動性能相關性研究”( XJAUGRI2015005)

姚芳芳(1989-)，女，湖南永順人，碩士研究生，研究方向為馬的繁育，(E-mail)635798595@qq.com

姚新奎(1961-)，男，新疆奎屯人，教授，博士生導師，研究方向為馬類科學，(E-mail)yxk61@126.com

S821

A

1001-4330(2016)08-1554-08