理清來龍去脈 分析臨界狀態

宋浩杰

高中物理涉及到臨界的問題學生往往比較頭疼。什么是臨界問題呢？當物體由某種狀態轉變成另一狀態的過程中，中間某個質變的轉折點則可對應為臨界狀態，物理學上有關臨界狀態的問題研究就稱為臨界問題。教師引導學生處理相關問題時，切忌讓學生對臨界條件死記硬背，而要幫助學生通過對量變過程的分析，來認識質變的必然。筆者以高一階段的幾個典型臨界問題為例，談談自己對此類內容進行教學時的思考。

1有關速度的臨界問題

運動學的臨界問題經常出現在追及情形中。追及問題就是討論兩個物體在運動過程發生追趕或相遇的問題。此類問題中的物體都有不同的運動狀態，這就導致彼此間距離的變化需要進行定量的計算分析，再因為初態二者間的距離或大或小，則會發生沒有追上或追上的可能。這時就會有一個臨界狀態的討論，此類問題的難點在于，學生不僅要對兩個物體的不同運動狀態進行分析，還要對物體的空間關系、速度關系進行研究。

例1 現有貨車甲從某地沿直線以20 m/s的速度向前勻速行駛，轎車乙在甲出發了200 m之后，從同一位置由靜止狀態開始，以加速度2 m/s²向前勻加速去追趕甲車。求轎車在追上貨車之前二者之間的最大的距離。

分析

本題處理的關鍵在于學生必須理順兩輛汽車之間的空間位置的變化關系，一項重要的輔助手段是畫出汽車行進的示意圖（如圖1所示）。s₀是乙車出發時，甲車已經領先的距離，此時乙車速度為零，它還有一段逐漸加速的過程，在乙車速度小于甲車的階段，二者的距離會逐漸變大；隨著乙車的速度不斷增加，當乙車速度超過甲車后，二者距離逐漸減??；因此甲乙二車速度相等的時刻就是彼此距離增大和縮短的分界點，也就是我們所說的臨界狀態。所以，解題步驟為兩個部分，第一求出乙車速度增加至20 m/s所對應的時間，第二在這段時間里甲車和乙車分別發生的位移，二者相減之后再加上原有的200 m的距離，即為答案。

進一步的思考：本題的處理還有相對運動法、圖象法以及二次函數求極值的方法，筆者認為前兩種方法屬于物理思維的積極體現，第三種方法需要學生建立數學模型來進行處理，也是當下物理教學的一個重要方面——培養學生用數學語言描述物理過程，用數學方法處理物理問題的相關能力。但是引導學生用此類方法進行處理時，依然要和學生結合函數關系分析出具體的物理情境，不能簡單地將物理問題數學化。

2有關時間的臨界問題

高一階段常常會涉及到最短時間的問題，行程類問題和小船渡河問題中都涉及到最短時間的問題。

例2 有一汽車沿著平直的公路從甲地靜止出發駛向相距為s的乙地，已知汽車先做勻加速直線運動，加速度為a₁，接著做勻速運動，最后做勻減速直線運動停于乙地，加速度為a₂，那么，該汽車從甲地運動到乙地最短時間是多少？

分析

對于運動學問題，很多學生會想到建立方程組進行求解，其實利用圖象研究物理問題也是一種常用的數學方法，借助于圖象簡單、直觀等優點幫助學生分析物理過程，找到問題中涉及到的臨界條件，接著再計算得出結論。本題做出汽車的v-t圖象如圖2所示，四邊形OABC的面積表示甲乙兩地的距離s，動態作圖，為了保證面積不變，可以發現改變加速時間會導致總時間的變化，繼而找到臨界，即先加速接著減速時間最短。

3有關摩擦力的臨界問題

高中階段的摩擦力主要是兩類：靜摩擦力和滑動摩擦力。其中靜摩擦力具有應變性以及一定的取值范圍；而滑動摩擦力的產生條件是發生摩擦的兩個物體之間要存在相對滑動。當物體的運動狀態和受力情形發生變化的時候，就可能導致靜摩擦力或滑動摩擦力發生變化，自然也就有對應摩擦力臨界狀態的發生。傳送帶模型經常與此類問題結合在一起成為問題設計的情境。

例3 一個如圖3中甲圖所示的傾斜傳送帶長度為16 m。其傾角為37°，現在正以10 m/s的速度逆時針勻速運轉。某質量為0.5kg的物體從其上端由靜止狀態釋放，已知物體與傳送帶之間的動摩擦因數為0.5，求物體從上端A運動到底端B所需要的時間。

分析 本題的解題關鍵在于學生要能分析出物體下滑16m過程中的運動狀態，具體操作如下：

①對初始狀態的物體進行受力分析，除重力和支持力之外，考慮到初階段物體即使要加速，其開始階段的速度也要小于傳送帶的速度，亦即物體相對于傳送帶有向上的速度，則滑動摩擦力向下，完整受力如圖3中的乙圖所示：

②第一階段受力情形會一直持續到物體的速度增加到與傳送帶速度相等的10 m/s，其后有一個判斷，物體在這段時間內加速的位移為多少。通過計算可得，這一階段加速時間為1s，對應位移5 m，即尚有11 m的位移需在第二階段走完。

③第二階段的受力是何特點呢？考慮到物體速度已經達到與傳送帶一致，則有兩種可能，可能隨傳送帶一起勻速下降，也可能繼續加速。但由于最大靜摩擦力小于重力沿斜面方向分量，即物體的靜摩擦力無法抗衡重力的影響，物體會繼續加速，而其速度一旦大于傳送帶速度，則其滑動摩擦力會沿斜面向上，受力情況如圖3中丙圖所示，結合第二階段的加速度求解和剩余位移11 m的已知，可求出第二段時間也為1 s，則全段時間2 s。

進一步的思考：本題涉及到的臨界狀態在于物體與傳送帶速度相等的時刻，這一時刻是物體運動形式切換的分界點。如果本題中的動摩擦因數較大，大于或等于傳送帶傾角的正切值，物體會勻速下滑；而如果動摩擦因數小于傾角的正切值，則與本題所出現的情形一致，物塊繼續加速，但是要區分前后階段滑動摩擦力方向上的差別。此外這也體現了滑動摩擦力作用上的區分：前階段滑動摩擦力充當動力；后階段滑動摩擦力起到阻力的效果。

4有關彈力的臨界問題

彈力也屬于應變力，而且其方向都有嚴格的限制。例如，繩子的力就只能沿其收縮的方向；支撐面上的力肯定是垂直于表面向外的推力。當外界的影響達到一定程度，使得繩子或支撐面上的力逐漸減小到零之后，這些地方的力是不會出現為負值的，因為矢量的正負往往具有方向的含義，即它們的力不會反向：繩子不可能起到支撐作用；支撐面也不會反過來進行吸附。此類情況經常出現在豎直平面里圓周運動的相關問題中一

例4 繩子拉動的小球在豎直平面里做半徑為r的圓周運動，如圖4中的甲圖所示。求進行完整的圓周運動對小球通過最高點的速度有何要求。（自由落體運動加速度為g）

進一步的思考：本例題還可以用水流星作為情境創設的背景，得出最高點速度的范圍。此外如果是如圖4中丙圖的圓形軌道模型，在最高點提供給小球的力類似于繩子，只能提供往下的力，而不能提供向上的力，因此，臨界狀態與上述情形完全一致。

綜上所述，教師引導學生對臨界問題進行處理時，不應該將學生的視線束縛在臨界狀態這一點上，而應該結合過程進行動態的分析，思考臨界情形發生的根源，這才有助于學生能力的真正提高。當然，從方法上看，求解這類問題較多用到數學方法，在分析清楚了過程和臨界條件的基礎上運用數學知識解決物理極值問題，不僅易被高中學生接受，而且能培養學生處理信息和應用數學知識解決物理問題的能力。