有錯必糾有“法”可依

陳俊

有錯必糾有“法”可依

陳俊

《有理數》一章是初中數學的基礎,同學們對相關概念的理解一定要透徹,要熟練掌握相關運算律和運算技巧,使運算簡捷明快,正確優美.現舉例剖析《有理數》中的典型錯誤,望同學們引以為戒.

一、有錯必糾

1.概念不清

例1最小的非負整數是.

【錯解】1.

【剖析】非負整數是指0和正整數,而絕非“非負即正”,要吃透非負整數的概念方可正確解題.

【正解】0.

【剖析】原因在于對分數的概念理解不清,錯以為分數就是形式上帶有分數線的數,其實,有限小數和無限循環小數都是分數.

例3絕對值為3的數是______.

【錯解】3.

【剖析】錯因在于對絕對值概念理解不清.絕對值是指數軸上表示一個數的點到原點的距離.不論正、負數,到原點的距離都可以是3,不能只想到了原點右邊的數3,而忽略了在原點左邊的-3.

【正解】±3.

例4判斷：-a是負數.()

【錯解】√.

【剖析】-a表示的是a的相反數,其符號完全取決于a的符號.當a是正數時,-a是負數;當a是負數時,-a是正數;當a是0時,-a是0.

【正解】×.

例5將數370000用科學記數法表示為______.

【錯解】37×104.

【剖析】科學記數法是指將一個絕對值大于10的數寫成a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n是正整數.故a=3.7.

【正解】3.7×105.

例6判斷：a+b的相反數是a-b.()

【錯解】√.

【剖析】求代數式的相反數,必須是將每一項都變為相反數,a的相反數是-a,b的相反數是-b.此題只求出了b的相反數,而忽略了a的相反數.

【正解】×.

例7判斷：符號不同的兩個數互為相反數.

【錯解】√.

【剖析】互為相反數是指“只有符號不同的兩個數”,其中“只有”指的是除了符號不同外,其他完全相同.舉反例:-4和+6的符號不同,但它們并不互為相反數.

【正解】×.

2.考慮不全

例8平方得16的數是______.

【錯解】4.

【剖析】4的平方和-4的平方相等,都為16.

【正解】±4.

例9絕對值等于本身的數是,絕對值等于其相反數的數是，相反數等于本身的數是，立方等于本身的數是.

【錯解】正數;負數;不存在;1和0.

【剖析】前兩個空均遺忘了0,0的絕對值既是它本身又是它的相反數;對于第三個空,不能光知道正數的相反數是負數,負數的相反數是正數,還要想到0的相反數是0本身;對于最后一空,受過去的影響只知道0和1的立方均為本身,而忽略了-1的立方也為本身.

【正解】非負數;非正數;0;±1和0.

例10絕對值大于2且不大于5的整數有.

【錯解】3,4.

【剖析】有兩個方面考慮不全造成的錯誤.一是未能正確認識“不大于”,“不大于”是指小于或等于;二是沒考慮到負整數的存在.

【正解】±3,±4,±5.

3.運算出錯

(1)符號錯誤

例11計算：-6×(-4)-120÷(-15).

【錯解】原式=24-8=16.

【剖析】此解將120前面的“-”號既視為減號,又視為負號,以致出錯.應當注意“-”號在運算中只能當作二者中的一種.

【正解】原式=24-(-8)=32.

例12計算：-32-(-6)-||-3.

【錯解】原式=9+6-3=12.

【剖析】此解忽視了-32與(-3)2的區別,-32表示3的平方的相反數,其結果為-9,(-3)2表示兩個-3相乘,其結果為9.應該注意“平方的相反數”與“相反數的平方”之間的區別與聯系.

【正解】原式=-9+6-3=-6.

(2)順序錯誤

例13計算：-6-(-24)÷(-3).

【錯解】原式=-6+24÷(-3)=18÷(-3)=-6.

【剖析】錯在違背有理數的運算順序:先乘方,再乘除,最后算加減;有括號的要先算括號內的;對同一級運算,要從左至右依次演算(運用運算律除外).

【正解】原式=-6-8=-14.

【錯解】原式=(-2)÷(-2)=1.

【剖析】此解法違背了運算順序,乘除為同一級運算,在同級運算中,應從左到右依次演算.不能認為哪里好算就先算.

(3)濫用公式(運算律)

例15計算：(-5+2)2-9.

【錯解】原式=(-5)2+22-9=25+4-9=20.

【剖析】(a+b)2表示兩數和的平方,而a2+ b2則表示兩數的平方和,二者不相等,此外(a-b)2與a2-b2也不相等.應按照運算順序計算,即有括號的,應先算括號內的.

【正解】原式=(-3)2-9=9-9=0.

例16計算：［1+(-2)］3.

【錯解】原式=13+(-2)3=1+(-8)=-7.

【剖析】(a+b)3表示兩數和的立方,而a3-b3則表示兩數的立方差,二者不相等,此外(a-b)3與a3-b3也不相等,應按照運算順序計算,即有括號的,應先算括號內的.

正解:原式=(-1)3=-1.

=24-36-48=-60.

【剖析】對于乘法有分配律a(b+c)=ab+ ac,但除法沒有分配律,即a÷(b+c)≠a÷b+a÷ c,上述解法錯在亂造公式,亂用運算律.

以上錯誤,究其原因,主要是同學們對有理數的有關概念不明確,對運算性質、運算法則不熟所致.因此,在學習有理數時,一定要正確認識相關概念,不要死記硬背,關鍵靠的是理解,準確運用運算性質,熟練使用運算法則,提高自己的解題能力.

二、有“法”可依

1.解題習慣要養成

以上事例可見,同學們解題出現錯誤往往是因為沒有認真審題,沒有理解題意,沒有理清運算順序而盲目動筆.另外,在解題時很粗心,遺漏運算符號成了“家常便飯”.濫用簡便算法,不顧運算順序,亂用運算律.因此在平時的學習中,我們要養成認真讀題后再解答的習慣、細心答題的習慣和不盲目使用簡便運算的習慣.

2.概念、定律要厘清

如從讀法、表示的意義和運算結果上理清“負數的乘方”與“乘方的相反數”二者的區別與聯系;從分數、負數在算乘方時丟掉括號就發現“變味”了感受括號的作用;從亂造“除法分配律”后發現和用正常的運算順序得出的結果不相等來體會運算律絕非想當然等.所以,我們要反復比較,反復練習,反復小結.

3.讀題方法要正確

在有理數運算的學習中同學們應掌握按意義讀題的方法,不能簡單地按運算符號從左讀到右.若讀法不正確,就很難理清運算順序,從而出錯.

4.錯誤成因要反思

養成用好“錯題集”的習慣,不斷反思,避免類似的錯誤再出現.也可以展開小組“互查互糾”的活動,從而讓自己對錯誤的類型、原因有深刻的認識,并悟出克服錯誤的方法.

5.運算意義要實際

數學來源于生活,平時在解決實際問題的過程中認識有理數運算的價值,同時多查閱相關資料,你會發現有理數運算錯誤給生活造成的嚴重后果或荒謬現象,從而增強正確進行有理數運算的自覺性與責任心.

(作者單位：江蘇省南京師范大學第二附屬初級中學)