《推理與證明》必刷題匯集

■江蘇省張家港職業教育中心校 韓文美

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《推理與證明》必刷題匯集

■江蘇省張家港職業教育中心校 韓文美

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的)

A．第6項 B．第7項

C．第19項 D．第11項

2．有一段演繹推理是這樣的：有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數。結論顯然是錯誤的，這是因為( )。

A．大前提錯誤 B．小前提錯誤

C．推理形式錯誤 D．以上說法都不是

A．1 B．1+2

C．1+2+3 D．1+2+3+4

4．觀察數列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，的特點，按此規律，則第100項為( )。

A．10 B．14 C．13 D．100

5．下列說法正確的是( )。

A．“a

B．命題“?x∈R，x3-x2-1≤0”的否定是“?x∈R，x3-x2-1≤0”

C．“若a、b都是奇數，則a+b是偶數”的逆否命題是“若a+b不是偶數，則a、b不都是奇數”

D．如果p∧q為假命題，那么p、q均為假命題

6．下列代數式(其中k∈N*)能被9整除的是( )。

A．6+6·7kB．2+7k-1

C．2(2+7k+1) D．3(2+7k)

8．已知a+b+c=0，則ab+bc+ca的值( )。

A．大于0 B．小于0

C．不小于0 D．不大于0

A．a>bB．a

C．a=bD．a、b的大小不定

10．已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值為( )。

D．不存在這樣的a、b、c

11．設函數f(x)定義如下表，數列{xn}滿足x0=5，且對任意的自然數均有xn+1=f(xn)，則x2 016=( )。

x12345f(x)41352

A．1 B．2 C．4 D．5

12．已知數列{xn}滿足xn+3=xn，xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*)，若x1=1，x2=a(a≤1，a≠0)，則數列{xn}的前2 016項的和S2 016的值為( )。

A．672 B．1 344

C．2 016 D．2 688

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

14．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎?！币艺f：“甲、丙都未獲獎?！北f：“我獲獎了?！倍≌f：“是乙獲獎。”四位歌手中只有兩人的話是正確的，則獲獎的歌手是____。

16．在平面上，我們用一直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按如圖1所示，由勾股定理知c2=a2+b2。設想把正方形換成正方體，把截線換成截面，如圖2，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如圖3所示，如果用S1、S2、S3表示三個側面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結論是____。

圖1 圖2 圖3

三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19．(本題12分)我們知道，在△ABC中，若c2=a2+b2，則△ABC是直角三角形。現在請你研究：若cn=an+bn(n>2)，則△ABC為何種三角形？為什么？

(1)證明：函數f(x)在(-1，+∞)上為增函數；

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根。

(1)求函數f(x)的單調區間和極值；

22．(本題12分)設f(n)是定義在N*上的增函數，f(4)=5，且滿足：

①任意n∈N*，f(n)∈Z；

②任意m，n∈N*，有f(m)·f(n)=f(mn)+f(m+n-1)。

(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；

(2)求f(n)的表達式。

參考答案

1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9.B

11．D 提示：由于x1=f(x0)=f(5)=2，x2=f(2)=1，x3=f(1)=4，x4=f(4)=5，x5=f(5)=2，…，歸納可得數列{xn}是周期為4的數列，所以x2 016=x0=5。

12．B 提示：根據題意，x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a(a≤1，a≠0)，則x1+x2+x3=2。又xn+3=xn，所以x4=x1，x5=x2，x6=x3，即x4+x5+x6=x1+x2+x3=2。同理，x7+x8+x9=2，…，x3n+1+x3n+2+x3n+3=2，而2 016=672×3，則S2 016=2×672=1 344。

14．丙 提示：若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，最后可知獲獎的歌手是丙。

17．由a2+b2≥2ab，及b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，以上三式相加整理得：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca。

則3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2。

由a+b+c=1，得3(a2+b2+c2)≥1。

證明如下：設A(x0，y0)為橢圓上的任意一點，則A關于橢圓中心的對稱點B的坐標為B(-x0，-y0)，點P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點的任意一點，則：

19．△ABC為銳角三角形。

證明過程如下：cn=an+bn(n>2)，c>a，c>b，由于c是△ABC的最大邊，所以要證△ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC>0。

證cosC>0，只要證a2+b2>c2。

①

注意到條件：an+bn=cn，于是將①等價變形為：(a2+b2)cn-2>cn。

②

因為c>a，c>b，n>2，所以cn-2>an-2，cn-2>bn-2，即cn-2-an-2>0，cn-2-bn-2>0。

從而(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-an-bn=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)>0，這說明②式成立，從而①式也成立。

故cosC>0，C是銳角，△ABC為銳角三角形。

20．(1)任取x1，x2∈(-1，+∞)，不妨設x10，ax2-x1>1且ax1>0。

ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0。

x1+1>0，x2+1>0。

故函數f(x)在(-1，+∞)上為增函數。

故方程f(x)=0沒有負數根。

21．(1)f′(x)=(x-1)(ex-1)。

當x<0或x>1時，f′(x)>0；

當0

f(x)在(-∞，0)和(1，+∞)上單調遞增，在(0，1)上單調遞減。

當x=0時，f(x)有極大值f(0)=0；

22．(1)因為f(1)f(4)=f(4)+f(4)，所以5f(1)=10，則f(1)=2。

因為f(n)是單調增函數，所以2=f(1)

因為f(n)∈Z，所以f(2)=3，f(3)=4。

(2)由f(1)=2，f(2)=3，f(3)=4，f(4)=5，猜想f(n)=n+1。

下面用數學歸納法證明：

①當n=1，2，3，4時，命題成立；

②假設當n=k(k≥4)時，命題成立，下面討論n=k+1的情形。

即f(k+2)=k+3。

又k+1=f(k)

因此不論k的奇偶性如何，總有f(k+1)=k+2，即n=k+1時，命題也成立。

于是對一切n∈N*，f(n)=n+1。

(責任編輯 徐利杰)