數學思想在《推理與證明》中的運用

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

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數學思想在《推理與證明》中的運用

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

一、類比思想

所謂類比思想就是根據兩個對象之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個對象之間的另外一些屬性也可能相同或相似的一種思維形式。“由特殊到一般”是解決這類問題的思維主線。

圖1

圖2

圖3

點評：本題考查同學們利用新結論解決問題的能力，靈活運用數形結合思想及類比推理是解題的關鍵。類比的方法主要有：概念之間的類比，與已知數學方法的類比，與已知結論的類比等。作為一種創新題型，類比推理已成為近年高考命題中的一個亮點。

二、歸納思想

歸納思想就是在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然后用演繹推理對結論進行證明。這種數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用。思維模式是“觀察—歸納—猜想—證明”，解題的關鍵是正確地歸納猜想。

(1)5=2+3，請你推測g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)來表示；

(2)如果(1)中獲得了一個結論，你能否將其推廣？

因此，g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2)。

(2)g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2)，也即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2)。

于是推測：

g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)。

(小前提及結論)

所以f(x)g(y)+g(x)f(y)

點評：此題是一典型的由特殊到一般的推理，構造g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2)是此題的一個難點，要經過觀察、分析、比較、聯想而得到。從而歸納推出一般結論g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)。特例試驗、歸納猜想是理性思維的重要體現，是獲得發現的源泉。近年高考特別注重對歸納猜想和由特殊到一般問題的解決方法的考查，主要形式是根據已知條件歸納出一個結論，再用演繹推理對結論進行證明。

三、轉化思想

轉化思想就是在解決數學問題時，將有待解決的問題，通過轉化，使之成為一個已經解決或比較容易解決的問題，并通過對這一問題的解答從而使原問題得到解決。

例3 已知a，b，c是不全相等的正數。

點評：運用分析法解題的關鍵是將結論適當轉化。分析法解題方向較為明確，有利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述。在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程。

四、正難則反思想

有些問題當從正面求解煩瑣或無法求解時，可從其反面進行思考，通過否定結論的反面來肯定結論的正確，這就是正難則反的思想。反證法就是“正難則反”的一種證明方法，它不直接證明命題的結論正確，而是通過證明結論的反面不正確來說明結論的正確。因而對于那些“結論的反面”比結論本身更具體、更明確、更簡單的命題，則適宜用反證法來證。

分析：若用直接法，需分類討論，于是可考慮使用反證法。

=2x2+2-2x1=2-2(x1-x2)。

這與假設矛盾，故原命題成立。

(責任編輯 徐利杰)