數系的擴充與復數的引入中的誤區警示

■陜西省洋縣中學 劉大鳴(特級教師)

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數系的擴充與復數的引入中的誤區警示

■陜西省洋縣中學 劉大鳴(特級教師)

警示一：混淆實數和復數的概念和性質適用的范圍

例1 (2015年廣東汕頭市模擬試題)下列命題中,正確的命題的個數是( )。

(1)若z∈C, 則z2≥0；(2)若z1,z2∈C,且z1-z2>0，則z1>z2；(3)若a>b，則a+i>b+i；(4)若x,y∈C,則x+yi=1+i的充要條件是x=y=1；(5)若x2+y2=0,則x=y=0。

A. 0 B. 1 C. 2 D.5

錯解：D。

誤區：命題(1)誤把任何一個實數的平方大于零推廣到復數中。命題(2)誤認為兩實數之差大于零等價于前一個實數大于后一個實數，也推廣到復數中來，認為兩復數差為實數則這兩個復數也為實數。命題(3)把不等式性質錯誤地推廣到復數中，忽略不等式是在實數中才成立的。命題(4) 誤認為x,y一定是x+yi的實部和虛部。命題(5)誤認為x,y是實數。

正解：(1)假命題，反例設z=i，則z2=i2=-1<0。

(2)假命題，反例設z1=2+i，z2=1+i，滿足z1-z2=1>0，但z1，z2不能比較大小。

(3)假命題，a>b，a,b∈R，故a+i，b+i都是虛數，不能比較大小。

(4)假命題，由于x,y∈C,所以x,y不一定是x+yi的實部和虛部,故是假命題

(5)假命題，沒有說明x,y是實數,不妨構造反例12+i2=0,但1≠0,i≠0。

綜上可知，答案為A。

點評：復數與實數的不同之處在于：任意兩個實數可以比較大小，而任意兩個復數中只要有一個不是實數時就不能比較大小。以前學過的函數、不等式等都是在實數范圍內研究的。

警示二：將實數的運算法則或性質遷移到復數中

誤區：錯解中(1)是對復數的運算法則理解錯誤造成的，(2)是同學們經常會誤認為“虛部”應該含有虛數單位i而導致的。

點評：復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1,z2,z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。復數的乘法不僅滿足交換律與結合律，實數集R中整數指數冪的運算律，在復數集C中仍然成立。

(2)形如z=a+bi(a，b∈R)的數叫做復數，a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部。

警示三：忽視in的周期性引發錯誤

例3 已知n∈N*,求值:

(1+i)n·(1-i)6-n=____。

誤區：需求出該式子的所有可能取值,in的值具有以4為周期的特點,根據n求in必須按被4整除，余數為0,1,2,3四種情況進行分類討論。

=(-2i)3·in=8in+1

點評：復數運算中的結論：

(1)(1±i)2=±2i。

(4)i的周期性為：①i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i，k∈N*;②ik+ik+1+ik+2+ik+3=0，k∈N*。

警示四：用實數系方程的解法來探究復數系方程的根

例4 若關于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有實根,求m的取值。

誤區:實數系一元二次方程有實根的判定方法是判別式Δ≥0,但對于復數系一元二次方程并不適用。

正解：依據根的意義設根，利用復數相等的充要條件，轉化求解。

設方程x2-(2i-1)x+3m-i=0的實根為a,則由根的定義可得：a2-(2i-1)a+3m-i=0。所以(a2+a+3m)-(2a+1)i=0。由復數相等定義可知：

警示五：研究復軌跡方程時忽略其幾何意義

A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓

錯解：選A或B。

可得到復平面內復數z對應的點的幾個基本軌跡：

(1)|z-z0|=r(r是正常數)，軌跡是一個圓。

(2)|z-z1|=|z-z2|(z1、z2是復常數)，軌跡是一條直線。

(3)|z-z1|+|z-z2|=2a(z1、z2是復常數，a是正常數)，軌跡有三種可能情形：①當2a>|z1-z2|時，軌跡為橢圓；②當2a=|z1-z2|時，軌跡為一條線段；③當2a<|z1-z2|時，軌跡不存在。

(4)||z-z1|-|z-z2||=2a(a是正常數)，軌跡有三種可能情形：①當2a<|z1-z2|時，軌跡為雙曲線；②當2a=|z1-z2|時，軌跡為兩條射線；③當2a>|z1-z2|時，軌跡不存在。

警示六：用軌跡求最值時忽略隱含條件

圖1

誤區:忽略虛數(x-2)+yi的條件致使所求斜率的范圍擴大。

圖2

注意斜率的意義和點不在x軸上的特點，選B。

點評：復數與向量有著天然的聯系，借助復數模的幾何意義可以得到某些軌跡方程，利用軌跡求最值時既要考慮目標函數的幾何意義(斜率，截距，距離等)，又要注意其隱含條件對所求最值的影響。

警示七：利用復數差的幾何意義探究網絡交匯問題

A.(0,1) B.(0,1]

C.[0,1) D.[0,1]

y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|∈[0,1]，即M=[0,1]。

M∩N=[0,1)，故選C。

點評：所求集合分別為對應函數的值域和不等式的解集，可利用有界性求三角函數的值域。復數差的模構成的一元二次不等式，可解不等式得到解集，再求交集。本題將不等式的解集用復數差的模進行合理包裝，是高考復數命題的一個創新，耐人回味。

練一練：

(2015年陜西高考)設復數z=(x-1)+yi(x,y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為( )。

答案：B。

(責任編輯 徐利杰)