基于小波包能量譜的古木結構損傷識別

楊帆，王鑫

（天水師范學院 土木工程學院，甘肅 天水 741001）

基于小波包能量譜的古木結構損傷識別

楊帆，王鑫

（天水師范學院 土木工程學院，甘肅 天水 741001）

通過對古木結構損傷進行有限元分析，提出了隨機激勵作用下古木結構的小波包能量變化率指標，表明該指標對于古木結構的損傷比較敏感，可以準確地判定古木結構損傷出現的位置，損傷程度越大，此指標越大。隨后又提出了古木結構損傷程度的判定方法，并驗證了其適用性，為研究環境激勵下古木結構的損傷識別奠定了理論基礎。

古木結構；有限元；小波包能量譜；損傷識別；小波包能量變化率

0　引言

古木結構在環境的侵蝕下、材料出現的老化和荷載的長期作用及其疲勞效應下，難免會出現結構系統的損傷，因此需要在第一時間結構健康監測系統及時發現結構出現的損傷并進行預警。傳統的模態參數不能準確識別出結構的損傷，大多數是通過振動的損傷評估方法由瞬態信號的傅立葉變換得出模態參數[1,2]，而傅立葉變換最大缺陷是對高頻模態分析不足，從時域到頻域的變換過程中時域的信息會丟失，不可能準確評價結構的損傷特性。小波分析有放大、縮小和平移等功能，通過檢查不同放大倍數下的變化來研究信號的變化特征，有優良的時-頻域特性，但缺點是高頻段分辨率差。小波包變換是小波變換的擴充，它將頻帶多層次劃分，對多分辨分析沒有細分的高頻部分進一步來分解，通過分析信號的特征，自適應地選擇相應頻帶，提高了時-頻分辨率，因此小波包應用更加廣泛。

丁幼亮等[3]提出了小波包能量譜的大跨橋梁結構損傷預警指標，劉濤等[4]在小波包能量譜的損傷預警基礎上建立了大跨懸索橋損傷預警方法，Hong等[5]對模態振型進行連續的小波變換，利用Lipschitz指數判定損傷出現的位置，李功宇等[6]采用曲率模態分析方法準確識別懸臂梁損傷出現位置，并進一步判斷懸臂梁的損傷程度，韓建剛等[7]提出小波包變換的能量變化率指標對梁體進行損傷定位研究。

本文提出小波包能量變化率指標對古木結構進行損傷識別，表明小波包能量變化率指標對于損傷識別較敏感，能夠準確地判定損傷的具體位置，隨后研究了小波包能量變化率指標應用于古木結構損傷識別的有效性。

1　小波包分析

小波包由小波函數線性組合而成，其中i、j、k分別為小波包函數的頻率參數、尺度參數和平移參數：

小波函數ψi由右式求解:

對于任意信號的第j階和第j+1階小波包分解的遞推關系是:

其中，H和G分別表示對應于h(k)和g(k)的濾波算子，經過j水平的小波包分解后，初始信號f(t)為:

小波包系數為:

2　損傷識別參數的選擇

2.1選擇合理的小波函數

從消失矩和支撐長度來看，選用Daubechies損傷定位的小波函數。N越大，Daubechies的消失矩越高，時域的分辨率越好；但Daubechies支撐長度越寬，小波的時域局域性越差。因此需合理確定Daubechies小波階次N。

對結構動力響應進行第i層小波包分解，fij表示第i層分解節點(i，j)上的結構響應，每個頻帶的結構響應fij能量為[8]:

結構動力響應在第i分解層的小波包能量譜向量Ei為:

小波包能量譜各頻帶能量系數Eij時頻集中程度通過代價函數M{Eij}來反映，采用lp范數熵作為代價函數，在同一小波包分解層上，計算不同小波函數的代價函數值，確定較適合的Daubechies小波階次N。通常不同的階次計算小波函數的代價函數值越小越好，lp范數熵(1≤p≤2)為[8]：

2.2選擇合理的小波包分解層數

實際工程中把結構動力響應進行小波包分解，計算每一分解層次上的小波包能量譜的代價函數，由代價函數和計算時間綜合考慮來確定適當的小波包分解層次，通常小波包能量譜代價函數值越小，計算機計算消耗時間越少，小波包分解層次將越好。類似選擇小波函數階次，采用lp范數熵代價函數來確定合適的小波包分解層數，lp范數熵(1≤p≤2)為[8]：

2.3小波包能量變化率指標

定義j水平下的信號能量Efj為:

由正交性條件得到:

任偉新等[9,10]定義能量變化率指標，j分解水平下信號小波包能量變化率指標Δ(Efj)為：

本文進一步提出對損傷定位更敏感的指標——新的能量變化率指標NΔ(Efj)：

3　算例

3.1古木結構的損傷模擬

本文采用有限元軟件對環境激勵下一榀古木框架結構進行損傷模擬，選取木梁長4 m，木柱高6m，梁截面尺寸為300 mm×700 mm，柱截面直徑500 mm。梁柱榫卯連接采用Combinl4單元。用beam188梁單元模擬木柱、木梁，榫卯連接的彎曲剛度為[11]：1×1010kN·m/rad，木材的彈性模量取1×1010N/m2，泊松比為0.25，密度為410 kg/m3，采用Rayleigh定義的粘性比例阻尼。計算中未考慮屋面質量，墻體不承重，不予考慮。柱子擱置在凹槽柱礎上，不能完全限制柱子轉動，柱與基礎連接簡化成固定鉸支座的力學模型符合實際情況[12,13]，建立古木結構的有限元模型如圖1所示。

圖1　古木結構的有限元模型(a)和節點詳圖(b)

在模型支座1施加水平方向的激勵荷載選用交通荷載[14]，激勵荷載的時程曲線及頻譜如圖2所示，獲得結構的加速度荷載時程，采用Matlab程序計算了小波包能量譜。

圖2　激勵荷載的時程曲線圖（a）及頻譜曲線圖（b）

表1　列出了古木結構的損傷工況，損傷程度通過折減損傷單元的彈性模量來實現，其中10%、18%、20%分別指損傷單元的彈性模量減少10%、18%、20%[8]。

對損傷工況1、2進行分析，得出完好結構和損傷工況1、2梁跨中第31節點的豎向加速度時程曲線如圖3所示。從圖3看出各損傷工況的信號有一定差別，但很難判斷出古木結構的損傷情況。因此下面從小波函數的選擇、小波分解層次的選擇、損傷定位參數的選擇討論古木結構的損傷識別過程。

3.2確定計算參數

3.2.1小波函數的選擇

因梁跨中撓度較大，以完好結構梁跨中第31節點的豎向加速度響應為例，采用不同階次Daubechies小波對其進行小波包分解，分解層次為4，計算范數熵代價函數值如表2所列。從表2看出小波階次為20時，范數熵為5592.46，其值相對其他小波階次最小，因此損傷識別的小波函數選取Daubechies20。

圖3　梁跨中第31節點加速度響應圖示

表2　分解層次為4時不同db小波的代價函數值一覽表

3.2.2小波包分解層數的選擇

采用Daubechies20小波對梁跨中第31節點完好狀態下的豎向加速度響應進行小波包分解，分解層次分別取1～8，計算lp范數熵的代價函數值如表3所列。從表3看出分解層次為4時，代價函數值為5592.46，相應計算時間為0.109 s，代價函數和計算時間均相對較小，因此損傷識別的小波包分解層次取4。

表3　Daubechies 20不同分解層次的代價函數值和計算時間一覽表

3.3損傷識別的判定

本文選擇db20對梁上各節點完好結構和損傷工況1、2的豎向加速度響應信號進行小波包分解，分解層次取4。運用公式（16）求出各節點的能量變化率指標，再將其值與梁上各節點編號繪制如圖4所示。

圖4　小波包能量變化率指標柱狀圖(一)

從圖4（a）、(b)看到，梁跨中節點31小波包能量變化率指標數值最大，與它相鄰的節點30、32值次之，離節點31越遠的節點值越小，到節點27、35值最小，可以判定在節點30、31、32之間存在損傷，正好是梁的損傷單元52、53所在位置，可判定在此處發生了損傷，此指標可準確地判定梁的損傷位置。隨著損傷程度增大，小波包能量變化率指標的值在增大，因此可以定量和定性地判斷古木結構梁的損傷情況。

同樣對上述梁各節點的豎向加速度響應信號進行小波包分解，小波函數和分解層次與上述相同，能量變化率指標采用公式(17)計算，得到各損傷工況下梁上各節點的能量變化率指標如圖5所示。

圖5　小波包能量變化率指標柱狀圖（二）

從圖5（a）、(b)同樣看出，節點31能量變化率指標最大，與它相鄰的節點30、32的值次之，離節點31越遠的值越小，到節點27、35值最小，可判定在節點30、31、32間存在損傷，與損傷工況1、2的損傷單元52、53所在位置吻合，可判定在此處發生損傷，此指標可準確地判定梁的損傷位置。工況2的能量變化率指標明顯比工況1大，與工況2的損傷程度大于工況1相符。隨著損傷程度增大，能量變化率指標增大，因此可以定量和定性地判斷古木結構梁的損傷情況。比較圖4、圖5可看出，相同的損傷工況、選用相同的小波函數和分解層次，采用式（17）能量變化率指標明顯大于式（16）能量變化率指標，說明本文提出的能量變化率指標能更加敏感地表征古木結構梁的損傷位置，而且損傷程度越大，小波包能量變化率指標越大。

3.4判定損傷程度

由圖4、圖5可看出，損傷指標的圖形形狀基本相似，數值大小有差異。設想若能找到損傷程度和損傷指標間的函數關系，畫出其關系曲線，知道了損傷指標，就可以判斷損傷程度了。

假設古木結構梁跨中出現損傷，對梁跨中損傷程度10%、15%、20%、25%、30%、35%、40%進行數值模擬，得到相應的豎向加速度信號，由式（17）計算梁跨中的損傷指標——小波包能量變化率指標，采用matlab數值擬合找到節點31損傷程度與損傷指標的函數關系，各損傷工況節點31的損傷識別指標如表4所列，繪出其關系曲線如圖6所示。

表4　損傷識別指標一覽表

圖6　損傷程度與損傷指標的關系曲線圖

由圖6得到損傷指標和損傷程度的函數關系式為：y=0.01668x2-0.1002x+2.703，對某損傷程度的結構施加一定的激勵荷載，得到相應的加速度時程曲線，進行小波包分解，用式（17）求出損傷指標，就能在圖6找到相應的損傷程度。

有效性的驗證：假設梁跨中損傷程度為18%，對損傷工況3進行數值模擬，得到梁上各節點的豎向加速度時程曲線，進行小波包分解，繪制損傷指標如圖7所示，節點31的損傷指標值y=6.590，由圖6曲線可逆推出x=18.56%，誤差為3.1%，因此該損傷指標與損傷程度的關系式能對古木結構的損傷程度進行較準確的識別。

圖7　工況3小波包能量變化率指標柱狀圖

4　結　語

（1）本文提出了小波包能量變化率指標，對隨機荷載作用下的古木結構梁上各節點的加速度響應信號進行小波包分解，然后計算此指標，進行結構的損傷定位。

（2）小波包的能量變化率指標對于古木結構梁的損傷較敏感，可準確地判定古木結構梁的損傷位置。本文提出的能量變化率指標更能表征古木結構梁的損傷位置，損傷程度越大，小波包能量變化率指標越大。

（3）在損傷位置判定的情況下，又提出損傷程度的判定方法并驗證了其有效性，為研究環境激勵下古木結構的損傷識別奠定了理論基礎。

[1]FarrarCR,JaureguiDA.Comparativestudyofdamage identification algorithms applied to a bridge:I.Experiment[J]. Smart Mater.Struct,1998（7）:704-719.

[2]FarrarCR,JaureguiDA.Comparativestudyofdamage identification algorithms applied to a bridge:II.Numerical Study [J].Smart Mater.Struct.,1998（7）:720-731.

[3]丁幼亮,李愛群,繆長青,等.基于小波包能量譜的大跨橋梁結構損傷預警指標[J].中國 公路 學報,2006,19(5):34-40.

[4]劉濤,李愛群,丁幼亮,等.大跨懸索橋損傷預警方法[J].特種結構，2005，22(3):83-85.

[5]Hong JC,Kim YY,Lee Hc.et.all.Damage detection using the Lipschitz exponent estimatedby the wavelet transform:application to Vibration modes of a beam[J].Int.J.Solids,stnlct.,2002（39）: 1803-1816.

[6]李功宇,鄭華文.損傷結構的曲率模態分析[J].振動、測試與診斷,2002,22(2):136-141.

[7]Han JG,Sun ZS,Ren WX.Wavelet based damage identification of beams[A].In:Proceedings of the eighth international symposium on structural engineering for young experts[c].Beijing:sp,2004：356-363.

[8]李愛群,丁幼亮.工程結構損傷預警理論及其應用[M].北京:科學出版社,2007.

[9]Jian-Gang Han,Wei-Xin Ren,Zeng-Shou Sun.Wavelet packet based damage identification of beam structures[J].International Journal of Solids and Structures,2005（42）：6610-6627.

[10]韓建剛,任偉新,孫增壽.基于小波包變換的梁體損傷識別[J].振動、測試與診斷,2006,26(1):5-10.

[11]孟昭博.西安鐘樓的交通振動響應分析及評估[D].西安:西安建筑科技大學，2009.

[12]孟昭博,袁俊,吳敏哲,等.古建筑高臺基對地震反應的影響[J].西安建筑科技大學學報,2008，40(6):835-840.

[13]趙均海,俞茂宏,高大峰,等.中國古代木結構的彈塑性有限元分析[J].西安建筑科技大學學報,1999,31(2):131-133.

[14]韓廣森.城市軌道交通微幅振動對古建筑的影響[D].西安:西安建筑科技大學,2011.

TU312

A

1009-7716（2016）03-0177-05

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2016.03.051

2015-11-30

楊帆（1969-），男，甘肅慶陽人，講師，院長，從事土木工程方面的教學與研究工作。